Chapter 09

편광

빛의 세기와 파장만으로는 빛을 다 설명할 수 없다. 전기장이 어느 방향으로 진동하는지, 즉 편광은 반사율(10장), 박막의 각도 특성(11장), 금속 그리드의 투과, 복굴절 OLPF의 동작을 결정한다. 이 장에서는 편광을 정량적으로 다루는 두 언어 — 존스 계산과 스토크스·푸앵카레 구 — 를 익히고, 와이어 그리드 편광자를 픽셀 위에 올린 편광 이미지 센서까지 따라간다.

편광이란: 전기장이 그리는 궤적

1장에서 본 평면파는 진행 방향 \(\hat z\)에 수직한 평면 안에서 진동하는 횡파(Transverse Wave)다. 등방성 매질에서 \(\nabla\cdot\mathbf D=0\)이므로 전기장은 \(x\)–\(y\) 평면에만 성분을 가진다. 이 두 성분의 진폭과 위상 관계를 편광(Polarization)이라 한다. 관례상 편광은 자기장이 아니라 전기장의 방향으로 정의한다 — 물질의 전자를 흔들어 흡수·굴절·반사를 일으키는 것이 전기장이기 때문이다.

$$\mathbf E(z,t)=\operatorname{Re}\Big\{\big(a_x\,\hat x + a_y e^{i\delta}\,\hat y\big)\,e^{i(\omega t-kz)}\Big\} \;\Rightarrow\; \begin{cases}E_x = a_x\cos(\omega t-kz)\\ E_y = a_y\cos(\omega t-kz+\delta)\end{cases}$$
\(a_x, a_y \ge 0\)는 두 성분의 진폭, \(\delta=\phi_y-\phi_x\)는 \(y\) 성분이 \(x\) 성분보다 앞선 위상. 한 지점(\(z\) 고정)에서 \((E_x,E_y)\)의 끝점은 일반적으로 타원을 그린다.

\(\delta\)와 진폭비에 따라 세 가지 경우가 생긴다.

z x (E) y (B) E: x 방향으로만 진동 → 직선 편광 B ⟂ E, 같은 위상 (점선) λ
그림 9-1. \(x\) 방향으로 직선 편광된 평면파의 순간 모습. 전기장(실선)과 자기장(점선)은 서로 수직이고 진행 방향 \(z\)에도 수직이다. 편광은 전기장의 진동 방향으로 정의한다.
수평 (H)δ=0, a_y=0 +45° (D)δ=0, a_x=a_y 우원 (R)δ=+90°, 시계 좌원 (L)δ=−90°, 반시계 ψ 타원방위 ψ, 타원율 χ 광원을 마주 보고(빛이 눈으로 들어오는 방향) 본 전기장 끝점의 궤적
그림 9-2. 대표적인 편광 상태. 이 책에서는 광원을 마주 보는 관찰자 기준으로 시계 방향 회전을 우원(R), 반시계를 좌원(L)이라 부른다(광학 관례). 타원은 장축 방위각 \(\psi\)와 타원율각 \(\chi\)(\(\tan\chi = \pm b/a\))로 기술한다.
SIMULATOR

편광 타원: 두 직교 성분의 합성

프리셋
상태—
방위각 ψ—
타원율각 χ—
축비 b/a—
정규화 스토크스 (s₁,s₂,s₃)—
해볼 것: ① δ를 0에서 90°로 천천히 돌리면 직선 → 타원 → 원으로 바뀐다. ② δ = 90°에서 ay만 줄이면 장축이 x축에 고정된 타원이 된다. ③ δ의 부호를 바꾸면 궤적 모양은 같고 회전 방향만 반대가 된다 — 이것이 헬리시티이고 s₃의 부호다. 왼쪽은 한 순간의 전기장을 z축을 따라 그린 것(나선)이다.

편광 타원과 부호 규약

위의 매개변수 \((a_x,a_y,\delta)\)는 측정하기 불편하다. 실험에서 바로 보이는 것은 타원의 방위각(Azimuth, ψ) — 장축이 \(x\)축과 이루는 각 — 과 타원율각(Ellipticity Angle, χ)이다. 둘은 다음 관계로 연결된다.

$$\tan 2\psi = \frac{2a_x a_y\cos\delta}{a_x^2-a_y^2},\qquad \sin 2\chi = \frac{2a_x a_y\sin\delta}{a_x^2+a_y^2},\qquad \tan\chi = \pm\frac{b}{a}$$
\(-90°<\psi\le 90°\), \(-45°\le\chi\le 45°\). \(a, b\)는 타원의 장·단반경. \(\chi=0\)이면 직선, \(\chi=\pm45°\)면 원 편광. \(\chi\)의 부호가 회전 방향(헬리시티)을 정한다.

같은 정보를 담는 또 하나의 표현은 복소 편광비 \(\tilde\chi = E_y/E_x = (a_y/a_x)e^{i\delta}\)다. 반사·투과에서 \(r_p/r_s\)를 측정하는 엘립소메트리(Ellipsometry)가 바로 이 양을 재서 박막 두께와 굴절률을 역산한다. 센서 공정 라인에서 ARC·패시베이션막 두께를 관리하는 표준 계측법이다(11장).

부호 규약 주의: ei(ωt−kz) vs ei(kz−ωt)

이 장의 존스 계산은 편광 광학 교재에서 흔한 \(e^{i(\omega t-kz)}\) 규약을 쓴다. 반면 10·11장과 OPT.tmm은 물리학 관례인 \(e^{i(kz-\omega t)}\)(흡수 매질 \(n+ik\), \(k>0\))를 쓴다. 두 규약은 서로 복소 켤레 관계라서, 같은 물리 상태라도 \(\delta\)의 부호, 파장판 행렬의 \(e^{\pm i\Gamma}\), 원편광 존스 벡터 \((1,\pm i)/\sqrt2\)의 부호가 뒤집힌다. 게다가 R/L의 이름도 광학(광원을 바라봄)과 전기공학 IEEE(광원에서 바라봄) 관례가 반대다. 논문·시뮬레이터 결과를 비교할 때는 항상 "어떤 규약에서 \(s_3>0\)이 어느 방향 회전인가"를 먼저 확인하자. 이 책: \(s_3>0\) ⇔ 광원을 마주 볼 때 시계 방향 ⇔ 우원(R).

존스 벡터와 존스 행렬

완전히 편광된 빛은 두 복소 진폭을 묶은 2차원 벡터, 존스 벡터(Jones Vector)로 표현된다. 선형 광학 소자는 이 벡터에 곱해지는 2×2 복소 행렬, 존스 행렬(Jones Matrix)이다. 여러 소자를 지나면 행렬을 빛이 지나는 순서의 역순으로 곱한다.

$$\mathbf J=\begin{pmatrix}E_x\\E_y\end{pmatrix},\qquad \mathbf J_{\text{out}} = \mathbf M_N\cdots\mathbf M_2\mathbf M_1\,\mathbf J_{\text{in}},\qquad I = |E_x|^2+|E_y|^2$$
회전된 소자는 \(\mathbf M(\theta)=\mathbf R(\theta)\,\mathbf M_0\,\mathbf R(-\theta)\), \(\mathbf R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\). 전체 위상 인자 \(e^{i\phi}\)는 강도와 편광 상태에 영향이 없으므로 보통 버린다.
상태/소자존스 표현 (축 기준 0°)비고
수평 H / 수직 V\((1,0)^T\) / \((0,1)^T\)서로 직교: \(\mathbf J_1^\dagger\mathbf J_2=0\)
±45° (D/A)\((1,\pm1)^T/\sqrt2\)
우원 R / 좌원 L\((1,+i)^T/\sqrt2\) / \((1,-i)^T/\sqrt2\)이 장의 규약 \(e^{i(\omega t-kz)}\)
직선 편광자 (투과축 x)\(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)투영 연산자, \(\mathbf P^2=\mathbf P\)
위상 지연판 (빠른축 x, 지연 Γ)\(\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{-i\Gamma}\end{pmatrix}\)λ/4: Γ=π/2, λ/2: Γ=π
회전자 (광활성, 각 ρ)\(\mathbf R(\rho)\)수정의 광학 활성, 패러데이 회전
부분 편광자 (소광비 ER)\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1/\sqrt{\mathrm{ER}}\end{pmatrix}\)실제 편광자 근사

존스 행렬은 결맞는 진폭을 다루기 때문에 위상 정보를 그대로 보존한다. 예를 들어 수평 편광을 빠른축 45°의 λ/4판에 통과시키면 \(\mathbf R(45°)\,\mathrm{diag}(1,-i)\,\mathbf R(-45°)(1,0)^T = \tfrac{1}{2}(1-i,\,1+i)^T\)이고, \(E_y/E_x = i\)이므로 \(\delta=+90°\), 우원 편광이 된다. 거꾸로 원편광을 λ/4판에 넣으면 직선 편광이 나온다. 3D 디스플레이 안경, OLED 패널의 원편광 반사 방지 필름이 모두 이 원리다.

SIMULATOR

존스 계산기: 편광 소자 연쇄

입사광
소자 ①
소자 ②
소자 ③ (그래프에서 스윕)
출력 강도 I/I₀—
출력 편광—
편광도 DoP—
스토크스 (S₁,S₂,S₃)/S₀—
해볼 것: ① 기본 설정은 0°–45°–90° 세 편광자다. 가운데 편광자를 "없음"으로 바꾸면 직교 편광자라 빛이 0이 되는데, 사이에 편광자를 하나 더 넣으면 1/8이 통과한다. ② 소자 ②를 λ/4판 45°로 바꾸면 소자 ③ 각도와 무관하게 출력이 일정하다(원편광). ③ 소자 ②를 λ/2판으로 바꾸고 θ₂를 돌리면 편광이 2θ₂만큼 돌아간다. 아래 그래프는 θ₃을 0~180°로 돌렸을 때의 출력이다.

말뤼스 법칙과 소광비

직선 편광된 빛이 투과축과 \(\theta\)만큼 기울어진 이상적 편광자를 지나면, 전기장의 축 방향 성분 \(E\cos\theta\)만 남는다. 강도는 그 제곱이다.

$$I(\theta) = I_0\cos^2\theta \quad\text{(말뤼스 법칙, Malus's law)}\qquad I_{\text{real}}(\theta) = I_0\big(T_{\max}\cos^2\theta + T_{\min}\sin^2\theta\big),\quad \mathrm{ER}=\frac{T_{\max}}{T_{\min}}$$
\(T_{\max}\): 투과축 방향 편광의 투과율, \(T_{\min}\): 직교 편광의 누설 투과율. 소광비(Extinction Ratio, ER)는 dB로도 쓴다: \(10\log_{10}\mathrm{ER}\). 비편광 입사 시 이상적 편광자의 투과는 1/2(평균 \(\langle\cos^2\rangle=1/2\)).

세 편광자 실험(0°–45°–90°)에서 빛이 \(\tfrac12\cdot\cos^2 45°\cdot\cos^2 45° = 1/8\) 통과하는 것은 편광자가 단순한 "체(필터)"가 아니라 투영이라는 점을 보여 준다. 45° 편광자는 수평 성분을 버리는 동시에 새로운 기저(45°)로 상태를 다시 준비한다.

비편광I₀ P₁ 0° I₀/2 P₂ 45° I₀/4 P₃ 90° I₀/8 P₂를 빼면 P₁ ⟂ P₃ 이라 출력 0 — 편광자를 더 넣어 빛이 늘어난다
그림 9-3. 세 편광자 실험. 편광자는 상태를 투과축 방향으로 투영하므로, 중간의 45° 편광자가 새로운 수평 성분을 만들어 낸다.

소광비는 응용마다 요구 수준이 크게 다르다. 디스플레이 편광판은 수천~수만:1, 편광 카메라는 수백:1이면 충분하고, 레이저 광학의 글랜–톰슨 프리즘은 10⁵:1을 넘는다. 이 값이 왜 중요한지는 7절의 편광도 측정 오차에서 정량적으로 보게 된다.

복굴절: 정상 광선과 이상 광선

결정 중에는 원자 배열의 방향성 때문에 굴절률이 편광 방향에 따라 다른 것들이 있다. 이것을 복굴절(Birefringence)이라 한다. 가장 흔한 일축성(Uniaxial) 결정은 하나의 특별한 방향, 광학축(Optic Axis, c축)을 가진다.

$$\frac{1}{n_e(\theta)^2}=\frac{\cos^2\theta}{n_o^2}+\frac{\sin^2\theta}{n_e^2},\qquad \tan\rho = \frac{n_e(\theta)^2}{2}\left(\frac{1}{n_o^2}-\frac{1}{n_e^2}\right)\sin 2\theta\;\xrightarrow{\theta=45^\circ}\;\rho\approx\frac{n_e-n_o}{\bar n}$$
\(\theta\): 파동 벡터와 광학축 사이 각, \(\rho\): 워크오프 각(이상 광선의 에너지가 비껴가는 각), \(\Delta n = n_e-n_o\)(\(>0\)이면 양성, \(<0\)이면 음성 결정).
복굴절 결정 (예: 수정, 방해석) 광학축 45° 비편광 입사 o 광선 (E ⟂ 지면) e 광선 (E ∥ 지면) ρ d = t·tanρ 두께 t
그림 9-4. 광학축이 표면에 45° 기울어진 판에 수직 입사한 비편광은 두 직교 편광으로 갈라진다. o 광선은 직진하고 e 광선은 워크오프 각 ρ만큼 비껴 진행해, 출사 후 \(d=t\tan\rho\)만큼 옆으로 이동한 평행 광선이 된다. 이것이 복굴절 OLPF(8장)의 원리다.
재료\(n_o\)\(n_e\)\(\Delta n=n_e-n_o\)쓰임
수정 (α-SiO₂)1.5441.553+0.0091OLPF, 영차 파장판
MgF₂1.3781.390+0.012UV 파장판
사파이어 (Al₂O₃)1.7681.760−0.008커버 윈도, 기판
LiNbO₃2.2862.203−0.083OLPF(얇은 필터), 변조기
방해석 (CaCO₃)1.6581.486−0.172편광 프리즘
루틸 TiO₂2.612.90+0.29고복굴절 소자
네마틱 액정 (5CB)1.531.71+0.18LCD, 가변 지연판

값은 589 nm 부근의 대표값(분산 있음). 실리카 박막, 폴리머처럼 원래 등방성인 재료도 응력·연신으로 Δn ~ 10⁻⁴~10⁻³의 응력 복굴절이 생긴다 — 사출 성형 플라스틱 렌즈의 복굴절이 대표적이다.

복굴절 OLPF의 두께

수정 판의 워크오프는 \(\rho\approx 0.0091/1.548\approx 0.34°\), 즉 판 두께 1 mm당 약 5.9 µm 옆으로 이동한다. 픽셀 피치 \(p\)만큼 점을 둘로 나누려면 \(t \approx p/0.0059\): 피치 4.3 µm의 DSLR이면 0.73 mm, 1.0 µm 모바일 픽셀이면 0.17 mm다. 수평·수직으로 각각 나누려면 판 두 장(그 사이에 λ/4판이나 45° 회전판)을 써서 한 점을 네 점으로 만든다. Δn이 9배 큰 LiNbO₃를 쓰면 같은 분리를 훨씬 얇은 판으로 얻는다. OLPF의 MTF는 \(|\cos(\pi\nu d)|\)이고, 첫 영점은 \(\nu=1/(2d)\)이므로 \(d=p\)이면 정확히 나이퀴스트 주파수 \(1/(2p)\)에서 MTF가 0이 된다 — 자세한 내용은 8장.

파장판과 위상 지연

광학축이 표면과 평행하게 잘린 복굴절 판에 수직 입사하면 두 편광은 같은 방향으로 진행하되 다른 속도로 간다. 두께 \(d\)를 지나는 동안 쌓이는 위상차가 위상 지연(Retardance)이다.

$$\Gamma = \frac{2\pi}{\lambda}\,|\Delta n|\,d,\qquad \text{OPD}=|\Delta n|\,d,\qquad T_{\perp}(\lambda) = \sin^2 2\theta\,\sin^2\!\frac{\Gamma}{2}$$
굴절률이 작은 축이 빠른축(Fast Axis). λ/4판은 \(\Gamma=\pi/2\)(+2πm), λ/2판은 \(\Gamma=\pi\)(+2πm). \(T_\perp\): 직교 편광자 사이에 빠른축을 \(\theta\)만큼 돌려 놓은 판의 투과율.

550 nm에서 수정 λ/4판의 두께는 \(d = 550/(4\times0.0091)\approx 15\) µm로 다루기 어려울 만큼 얇다. 그래서 두꺼운 판(Γ = 2πm + π/2)을 쓰는 다차(Multi-order) 파장판, 또는 두께가 조금 다른 두 판을 축을 직교시켜 붙인 영차(Zero-order) 파장판을 쓴다. 차수 \(m\)이 클수록 파장·온도·입사각에 민감하다 — 위상 지연이 \(\lambda\)에 반비례하므로 \(m\)차 판의 지연 오차는 대략 \(m\)배로 커진다.

SIMULATOR

직교 편광자 사이의 파장판: 간섭색(미셸–레비 차트)

재료 (Δn)
검광자
OPD = Δn·d—
550 nm에서 Γ—
이 재료의 영차 λ/4 두께—
투과색—
해볼 것: ① 수정에서 d ≈ 15 µm(λ/4), 30 µm(λ/2) 근처의 스펙트럼을 보자. ② OPD 약 550 nm에서 "1차 적색(sensitive tint)"이 보인다 — 미세한 응력 복굴절도 색 변화로 잡아내는 검사용 색이다. ③ 두께를 크게(OPD > 2000 nm) 하면 스펙트럼이 빗살처럼 촘촘해져 색이 다시 흰색으로 씻겨 나간다. 다차 파장판이 파장에 민감한 이유를 그래프에서 확인하자. 색은 CIE 1931 등색 함수 근사로 계산했다.

스토크스 파라미터와 푸앵카레 구

존스 벡터는 완전 편광만 표현할 수 있고 위상(측정 불가능한 양)을 포함한다. 실제 카메라가 보는 햇빛, 반사광은 부분 편광이고, 측정 가능한 것은 강도뿐이다. 1852년 스토크스는 네 개의 강도 측정만으로 편광 상태를 완전히 기술하는 방법을 제안했다.

$$\begin{aligned} S_0 &= I_{0°}+I_{90°} = \langle|E_x|^2\rangle+\langle|E_y|^2\rangle\\ S_1 &= I_{0°}-I_{90°} = \langle|E_x|^2\rangle-\langle|E_y|^2\rangle\\ S_2 &= I_{45°}-I_{135°} = 2\,\mathrm{Re}\langle E_x^*E_y\rangle\\ S_3 &= I_{R}-I_{L} = 2\,\mathrm{Im}\langle E_x^*E_y\rangle \end{aligned}\qquad \mathrm{DoP}=\frac{\sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2}}{S_0}$$
\(\langle\cdot\rangle\)는 시간(또는 앙상블) 평균. \(I_\theta\)는 \(\theta\) 방향 직선 편광자 뒤의 강도, \(I_{R,L}\)은 원편광 분석기 뒤의 강도. 완전 편광이면 DoP = 1, 비편광이면 0.

정규화한 \((s_1,s_2,s_3)=(S_1,S_2,S_3)/S_0\)는 반지름 1인 구 위(완전 편광) 또는 내부(부분 편광)의 한 점이다. 이것이 푸앵카레 구(Poincaré Sphere)다. 편광 타원의 각과는 아주 간단한 관계가 있다: 경도 = 2ψ, 위도 = 2χ.

$$s_1=\cos2\chi\cos2\psi,\qquad s_2=\cos2\chi\sin2\psi,\qquad s_3=\sin2\chi$$
적도는 모든 직선 편광, 북극은 R, 남극은 L. 구 위에서 정반대(대척점)인 두 상태는 서로 직교한다(H↔V, D↔A, R↔L).
s₃s₁s₂ R (북극) L (남극) H V (뒤) D +45° A P (타원) 구 위의 위치 = 편광 상태 • 경도 2ψ : 타원의 방위 • 위도 2χ : 타원율 · 헬리시티 • 반지름 = 편광도 DoP (내부 = 부분 편광) • 중심 = 완전 비편광 소자의 작용 = 구의 회전 • 파장판: 빠른축 (적도 위 2θ) 둘레로 Γ 회전 • 회전자: s₃축 둘레로 2ρ 회전 • 편광자: 투과축 점으로 투영 (회전 아님)
그림 9-5. 푸앵카레 구. 적도에는 직선 편광(H, D, V, A가 90°씩, 즉 실제 각도의 두 배 간격), 극에는 원편광이 있다. 손실 없는 위상 지연 소자는 모두 구의 회전으로 표현된다.
SIMULATOR

푸앵카레 구 위의 파장판 궤적

끌어서 구를 돌려 보세요
입력 (s₁,s₂,s₃)—
출력 (s₁,s₂,s₃)—
출력 ψ / χ—
회전축—
해볼 것: ① H 입력(ψ=0, χ=0)에 θ=45° λ/4(Γ=90°)를 걸면 적도에서 북극(R)으로 1/4 바퀴. ② Γ=180°(λ/2)면 적도 반대편 V에 도달한다. ③ θ=0°로 두면 회전축이 H 점을 지나므로 H 입력은 꼼짝하지 않는다 — 빠른축과 나란한 편광은 파장판의 영향을 받지 않는다. 궤적은 각 Γ′에 대해 존스 행렬을 직접 곱해 계산한 것이다.

부분 편광, 편광도와 뮐러 행렬

자연광(태양, LED)은 원자들이 제각각 독립적으로 내는 빛의 합이라 \(E_x, E_y\)의 상대 위상이 펨토초 단위로 무작위하게 변한다. 시간 평균하면 \(\langle E_x^*E_y\rangle = 0\), \(\langle|E_x|^2\rangle=\langle|E_y|^2\rangle\)로 비편광이 된다. 부분 편광은 언제나 완전 편광 + 비편광의 비간섭 합으로 유일하게 분해된다.

$$\mathbf S = (1-P)\,S_0\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} + P\,S_0\begin{pmatrix}1\\ s_1/P\\ s_2/P\\ s_3/P\end{pmatrix},\qquad \mathrm{DoLP}=\frac{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}{S_0},\quad \mathrm{AoLP}=\frac12\operatorname{atan2}(S_2,S_1)$$
\(P\) = DoP. 이미지 센서는 대개 원편광 성분(\(S_3\))을 측정하지 않으므로 직선 편광도 DoLP(Degree of Linear Polarization)와 직선 편광각 AoLP(Angle of Linear Polarization)를 쓴다. 자연계에서 원편광 성분은 드물다.

스토크스 벡터에 작용하는 4×4 실수 행렬이 뮐러 행렬(Mueller Matrix)이다. 비간섭 합이 그대로 더해지므로 산란·탈편광 같은 존스 행렬로는 표현할 수 없는 과정도 다룰 수 있다. 예를 들어 투과축 \(\theta\)의 이상적 편광자는

$$\mathbf M_{\text{pol}}(\theta)=\frac12\begin{pmatrix}1&\cos2\theta&\sin2\theta&0\\ \cos2\theta&\cos^22\theta&\sin2\theta\cos2\theta&0\\ \sin2\theta&\sin2\theta\cos2\theta&\sin^22\theta&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} \;\Rightarrow\; I_\theta=\tfrac12\big(S_0+S_1\cos2\theta+S_2\sin2\theta\big)$$
맨 윗줄만 보면 편광 센서의 측정식이 된다. 0°, 45°, 90°, 135° 네 각도면 \(S_0,S_1,S_2\)를 결정하기에 충분하고(미지수 3개, 측정 4개), 남는 1개의 자유도는 잡음 평균과 결함 검출에 쓸 수 있다.
심화: 왜 반사광은 편광되는가

유전체 표면 반사에서는 s 편광(전기장이 표면에 평행)의 반사율이 p 편광보다 항상 크다(10장). 비편광 \(S_0\)가 반사되면 \(I_s\propto R_s\), \(I_p\propto R_p\)이므로 반사광의 DoLP는 \((R_s-R_p)/(R_s+R_p)\), 편광 방향은 입사면에 수직(표면에 평행)이다. 브루스터 각(유리 56°, 물 53°)에서는 \(R_p=0\)이라 DoLP = 1이 된다. 편광 선글라스가 수평 반사 글레어를 지우고, 편광 카메라가 반사면의 법선 방향(shape-from-polarization)을 추정할 수 있는 이유다. 반대로 물체 내부에서 산란된 뒤 굴절되어 나오는 확산 반사는 p 쪽으로 약하게 편광된다.

편광자: 이색성 필름과 와이어 그리드

편광자를 만드는 방법은 크게 세 가지다. ① 이색성(Dichroism): 요오드를 흡착시킨 PVA 필름을 연신하면 긴 사슬 분자 방향으로 진동하는 전기장만 흡수된다(LCD 편광판). ② 복굴절 프리즘: 방해석에서 o/e 광선의 임계각 차이를 이용(글랜–톰슨). ③ 반사·간섭: 브루스터 각 적층, 박막 편광 빔 스플리터(PBS). 그리고 반도체 공정과 가장 잘 맞는 ④ 와이어 그리드 편광자(Wire-Grid Polarizer, WGP)가 있다.

기판 (SiO₂) p h 금속(Al) 선: 지면에 수직 방향으로 길게 뻗음, p ≪ λ 비편광 입사 E ∥ 선 (TE): 반사 전자가 선 따라 자유 진동 → 금속 거울 E ⟂ 선 (TM): 투과 선 폭 방향으로는 전류가 못 흐름
그림 9-6. 와이어 그리드 편광자. 선 방향 전기장(TE)은 선을 따라 전류를 흘려 금속처럼 반사되고, 선에 수직한 전기장(TM)은 선 폭(수십 nm) 방향으로 전하가 움직일 공간이 없어 유전체처럼 통과한다. 흔한 오해와 달리 선에 수직한 편광이 투과한다.

피치가 파장보다 충분히 작으면(\(p\ll\lambda\)) 회절 차수가 생기지 않고, 그리드는 굴절률이 방향마다 다른 균질한 막처럼 보인다 — 형태 복굴절(Form Birefringence). 0차 유효 매질 이론(EMT)으로

$$\varepsilon_{\parallel} = f\,\varepsilon_m + (1-f)\,\varepsilon_d,\qquad \frac{1}{\varepsilon_{\perp}}=\frac{f}{\varepsilon_m}+\frac{1-f}{\varepsilon_d}$$
\(f\): 금속 채움률(듀티), \(\varepsilon_m=(n+ik)^2\): 금속 유전율(Al @550 nm ≈ −44+i13), \(\varepsilon_d\): 선 사이 매질. \(\varepsilon_\parallel\)는 금속처럼 큰 음수(반사), \(\varepsilon_\perp\approx\varepsilon_d/(1-f)\)는 유전체처럼 작은 양수(투과)가 된다.

EMT는 TE 누설량이 피치에 어떻게 의존하는지 알려 주지 못한다. 그 직관은 선 사이 틈을 평행판 도파로로 보면 얻을 수 있다. 전기장이 판에 평행한(TE) 모드는 틈 \(g\)가 \(\lambda/(2n_d)\)보다 좁으면 차단(Cutoff)되어 진행하지 못하고 지수적으로 감쇠한다. 반면 TM은 차단 없는 TEM 모드가 있어 항상 통과한다.

$$T_{\mathrm{TE}}\approx (1-f)\,e^{-2\kappa h},\qquad \kappa = 2\pi\sqrt{\Big(\frac{1}{2g_{\text{eff}}}\Big)^2-\Big(\frac{n_d}{\lambda}\Big)^2},\qquad g_{\text{eff}} = g + 2\delta_{\text{skin}}$$
\(g=(1-f)p\): 틈 폭, \(h\): 선 높이, \(\delta_{\text{skin}}=\lambda/(4\pi k)\): 금속 표피 깊이(Al ≈ 6.6 nm, W ≈ 15 nm @550 nm). 표피 깊이만큼 장이 금속에 스며들어 틈이 실효적으로 넓어진다. 이 모델은 이상적인 상한을 준다(선폭 거칠기·경사 입사·인접 픽셀 누설은 미포함).
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와이어 그리드 편광자: 피치·높이·금속에 따른 소광비

금속
TTM (투과축)—
TTE (누설)—
소광비 ER—
TE 차단 조건 g vs λ/2n—
회절 시작 파장 p·nsub—
해볼 것: ① 피치를 150 → 300 nm로 키우면 TE 누설이 수십 배 늘어 ER이 급락하고, 짧은 파장부터 회절이 시작된다(회색 영역). 그래서 가시광 WGP는 피치 100~150 nm, 즉 ArF 노광급 패터닝이 필요하다. ② 높이 h를 늘리면 ER은 지수적으로 좋아지지만 종횡비가 커져 식각이 어렵다. ③ 금속을 W로 바꾸면 표피 깊이가 두 배라 누설이 늘고, 흡수 때문에 TTM도 떨어진다. TM 투과는 0차 EMT 막의 TMM으로, TE는 도파로 차단 모델로 계산했다.
왜 픽셀 위 편광자는 와이어 그리드인가

PVA 필름은 두께가 수십 µm라 픽셀(수 µm) 위에 패턴으로 올릴 수 없고 열·공정 내성도 약하다. 반면 Al 와이어 그리드는 두께 0.1~0.2 µm로 CMOS 백엔드 공정(증착·노광·식각)만으로 픽셀마다 다른 방향으로 만들 수 있고, 무기물이라 리플로우 온도도 견딘다. 단점은 ① TE를 흡수가 아닌 반사로 거르므로 그 빛이 미광·플레어가 될 수 있다는 점(16장), ② 피치 ≲ 150 nm의 미세 패터닝이 필요하다는 점이다.

편광 이미지 센서

소니의 Polarsens(예: IMX250MZR) 같은 편광 센서는 2×2 픽셀마다 0°, 45°, 90°, 135° 방향의 와이어 그리드를 온칩으로 올렸다. 컬러 센서가 베이어 패턴으로 색을 공간 다중화하듯, 편광 센서는 편광을 공간 다중화한다. 한 번의 노출로 네 강도를 얻어 \(S_0, S_1, S_2\) → DoLP, AoLP를 계산한다.

상면도: 2×2 편광 슈퍼픽셀 I₉₀I₄₅ I₁₃₅I₀ 투과 편광 ⟂ 선 방향 단면 (BSI, 개략) 마이크로렌즈 평탄화·(컬러 필터) 와이어 그리드 (Al) 반사방지·차광 PDPD Si + DTI 편광자를 렌즈 아래, PD 가까이 두어 비스듬한 광선의 이웃 픽셀 누설(편광 크로스토크)을 줄인다
그림 9-7. 온칩 편광 센서의 2×2 슈퍼픽셀(왼쪽)과 단면 개략(오른쪽). 와이어 그리드를 마이크로렌즈 아래에 두면 이웃 픽셀로 비스듬히 새는 빛이 줄어 실효 소광비가 좋아진다.
$$S_0=\tfrac12(I_0+I_{45}+I_{90}+I_{135}),\quad S_1=I_0-I_{90},\quad S_2=I_{45}-I_{135},\qquad \mathrm{DoLP}_{\text{meas}} = \frac{\mathrm{ER}-1}{\mathrm{ER}+1}\,\mathrm{DoLP}_{\text{true}}$$
유한한 소광비 ER은 측정 DoLP를 일정 비율로 줄인다(ER = 100이면 2% 과소). 실제 픽셀에서는 각 채널의 ER과 투과율이 조금씩 다르고, 2×2 슈퍼픽셀의 네 픽셀이 서로 다른 위치를 본다는 점(공간 앨리어싱) 때문에 경계에서 가짜 편광이 생긴다.
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편광 센서 시뮬레이션: 합성 장면 → 모자이크 → DoLP·AoLP

표시
바닥 브루스터 줄 DoLP (참 / 측정)—
구 가장자리 최대 DoLP—
비편광 벽의 측정 DoLP (평균 ± σ)—
브루스터 각 atan(n)—
해볼 것: ① 장면은 하늘(부분 편광), 왼쪽의 무광 벽(비편광), 유전체 구(정반사 편광), 바닥 유리면(시야각 80°→40°)으로 이루어져 있다. 바닥에서 시야각이 브루스터 각과 같은 줄에서 DoLP가 최대가 된다. ② 신호를 10전자 수준으로 낮추면 비편광인 벽에서도 DoLP가 0이 아니다 — 잡음은 DoLP를 양의 방향으로 편향시킨다(크기의 평균은 0이 아님). ③ ER을 2:1까지 낮추면 DoLP 전체가 (ER−1)/(ER+1)로 줄어든다. ④ AoLP 보기에서 구 가장자리의 색이 둘레를 따라 한 바퀴 도는 것은 반사광의 편광이 표면 법선의 방위각에 수직이기 때문이다. 원시 보기는 2×2 모자이크를 확대한 것이다.
실무 노트: 편광 센서 개발에서 챙길 것

① 채널 간 보정: 네 채널의 투과율·ER이 1~5% 달라도 균일 비편광 장면에서 DoLP가 0이 아니게 나온다. 적분구의 비편광 광원과 회전 편광자로 픽셀별 4×3 분석 행렬을 캘리브레이션한다. ② CRA: 경사 입사에서는 와이어 그리드의 유효 피치·높이가 달라지고, 그리드 위아래 박막의 s/p 투과율 차이(10장)가 추가 편광을 만든다. 주변부의 ER 저하를 측정해야 한다. ③ 크로스토크: 이웃 픽셀로 새는 빛은 다른 편광 채널의 신호이므로 ER을 직접 깎는다(편광자를 PD 가까이 두는 이유). ④ 반사광: TE 반사광이 렌즈·커버 유리로 돌아가 고스트가 된다(16장). ⑤ 컬러: 컬러 편광 센서는 2×2 편광 × 2×2 베이어 = 4×4 주기라 해상도 손실과 디모자이킹이 까다롭다.

평범한 픽셀도 편광에 민감하다

편광 필터가 없는 일반 RGB 픽셀도 비스듬한 빛에 대해서는 편광 의존성을 가진다. 원인은 모두 경계면에서 s와 p가 다르게 반사·투과되는 데 있다(10장).

실제 장면의 빛(하늘, 수면·유리 반사, LCD/OLED 화면)은 부분 편광인 경우가 많다. 픽셀의 편광 의존 감도가 1~2%라도, 회전하는 장면이나 휴대폰 화면을 찍을 때 미세한 밝기·색 변화로 나타날 수 있다. 모듈 수준에서 렌즈 사출 성형의 응력 복굴절, 편광 의존 IR 컷 필터 코팅도 같은 효과를 더한다.

시뮬레이션에서 흔한 실수

픽셀 QE를 RCWA/FDTD로 계산할 때 s(또는 TE) 한 편광만 계산하고 끝내는 경우가 있다. 비편광 조명이라면 반드시 두 직교 편광의 강도를 평균해야 한다(진폭을 평균하면 안 된다 — 직교 편광은 서로 간섭하지 않는다). 경사 입사에서 s만 본 결과는 QE를 수 % 틀리게 줄 수 있다.

핵심 정리

  1. 편광은 전기장의 진동 궤적이며 진폭비 \(a_y/a_x\)와 위상차 \(\delta\) — 또는 방위각 ψ와 타원율각 χ — 로 기술된다. 직선·원은 타원의 특수 경우다.
  2. 존스 벡터·행렬은 완전 편광의 진폭을 다룬다. 회전된 소자는 \(\mathbf R(\theta)\mathbf M_0\mathbf R(-\theta)\), 연쇄는 역순 곱. 시간 규약(\(e^{\pm i\omega t}\))에 따라 부호가 바뀌므로 항상 확인한다.
  3. 말뤼스 법칙 \(I=I_0\cos^2\theta\). 실제 편광자는 소광비 ER로 성능을 표시하며, 유한한 ER은 측정 DoLP를 \((\mathrm{ER}-1)/(\mathrm{ER}+1)\)배로 줄인다.
  4. 복굴절 결정의 위상 지연 \(\Gamma=2\pi\Delta n d/\lambda\). λ/4판은 직선↔원, λ/2판은 방위를 2θ 회전. 수정 OLPF는 워크오프 \(\rho\approx\Delta n/\bar n\)으로 점을 픽셀 피치만큼 나눈다.
  5. 스토크스 파라미터는 강도 측정만으로 부분 편광까지 기술한다. 푸앵카레 구에서 경도 2ψ, 위도 2χ, 반지름은 DoP이고, 위상 지연 소자는 구의 회전이다.
  6. 와이어 그리드는 선 방향 전기장(TE)을 반사하고 수직 전기장(TM)을 통과시킨다. 소광비는 틈 폭이 TE 차단 조건보다 얼마나 좁은지와 선 높이에 지수적으로 의존하며, 가시광용은 피치 ~100–150 nm가 필요하다.
  7. 편광 센서는 0/45/90/135° 2×2 슈퍼픽셀로 \(S_0,S_1,S_2\)를 얻는다. 채널 보정, CRA에 따른 ER 저하, 크로스토크, 저조도에서 DoLP의 양의 편향이 주요 이슈다.
  8. 일반 픽셀도 경사 입사에서는 s/p 투과 차이로 편광 의존성을 가진다. 전자기 시뮬레이션은 비편광 조건이면 두 편광의 강도를 평균한다.

확인 퀴즈

Q1. \(a_x=a_y\), \(\delta=60°\)인 빛의 편광 상태는?

\(\tan2\psi = 2a_xa_y\cos\delta/(a_x^2-a_y^2)\)에서 분모가 0이므로 \(2\psi=90°\), ψ = 45°. \(\sin2\chi=\sin60°\)이므로 χ = 30°, 축비 \(\tan30°=0.58\)인 타원이다. 원편광은 \(\delta=\pm90°\)일 때뿐이다.

Q2. 비편광을 0°, 30°, 60°, 90° 순서의 이상적 편광자 네 장에 통과시키면 출력 강도는?

\(\tfrac12(\cos^2 30°)^3=\tfrac12(0.75)^3 = 0.211\). 편광자를 더 잘게 나눌수록(N장, 각 \(90°/N\)) \(\tfrac12\cos^{2N}(\pi/2N)\to\tfrac12\)에 가까워진다 — 편광을 "손실 없이" 돌리는 것은 파장판·회전자의 일이다.

Q3. 수정(Δn = 0.0091)으로 550 nm용 영차 λ/2판을 만들 때 필요한 두께는?

\(\Gamma=\pi\) → \(d=\lambda/(2\Delta n)=550/(2\times0.0091)=30.2\) µm. λ/4판은 그 절반인 15 µm. 이렇게 얇은 판은 다루기 어려워 두 판을 직교로 붙인 영차 파장판이 흔하다.

Q4. 와이어 그리드 편광자에 대한 설명으로 옳은 것은?

선 방향 전기장은 선을 따라 전류를 구동해 금속 거울처럼 반사된다. 틈의 평행판 도파로에서 TE는 \(g<\lambda/2n\)이면 차단되므로 피치·틈이 작을수록 소광비가 좋다. 반사된 TE광은 미광원이 될 수 있다.

Q5. 푸앵카레 구에서 빠른축이 0°인 λ/4판의 작용은?

빠른축 θ의 지연판은 적도 위 경도 2θ 방향 축 둘레로 Γ만큼 회전시킨다. θ = 0°이면 s₁ 축. 그래서 ±45°(s₂ 축 위) 직선 편광이 극(원편광)으로 옮겨 가고, H/V는 그대로다.

Q6. 편광 센서의 네 채널이 I₀ = 300, I₄₅ = 200, I₉₀ = 100, I₁₃₅ = 200 (전자)을 읽었다. DoLP와 AoLP는?

\(S_0=(300+200+100+200)/2=400\), \(S_1=300-100=200\), \(S_2=200-200=0\). DoLP = 200/400 = 0.5, AoLP = ½ atan2(0, 200) = 0°(수평).

Q7. 소광비 ER = 50인 편광 센서로 DoLP가 정확히 0.40인 장면을 측정하면 (잡음 무시) 측정 DoLP는?

\(\tfrac{50-1}{50+1}\times0.40 = 0.961\times0.40 = 0.384\). ER이 유한하면 직교 채널로 새는 빛이 콘트라스트를 깎는다. 보정 행렬로 되돌릴 수 있지만 잡음도 함께 증폭된다.

Q8. 1.0 µm 피치 모바일 센서에서 한 점을 수평 방향 1 피치만큼 둘로 나누는 수정 OLPF 판의 두께는 대략?

광학축 45° 절단 수정의 워크오프 \(\tan\rho\approx\Delta n/\bar n \approx 0.0059\). \(t = 1.0\,\mu\text{m}/0.0059\approx 170\) µm. 다만 대부분의 모바일 센서는 공간과 해상도 이유로 OLPF를 쓰지 않는다(8장).

Q9. 비편광 조명에서 경사 입사 픽셀의 QE를 FDTD로 구할 때 올바른 방법은?

비편광은 서로 결맞지 않는 두 직교 편광의 강도 합이다. 동시에(결맞게) 넣으면 45° 직선 편광이 되어 s–p 간섭항이 생긴다. 일반 구조에서는 그 간섭항이 0이 아니므로 따로 계산해 평균해야 한다.