Chapter 01

빛은 파동이다

카메라 렌즈를 설계할 때는 빛을 직선으로 달리는 광선으로 생각해도 대부분 괜찮다. 하지만 빛이 0.7 µm 픽셀 안으로 들어가는 순간, 그 픽셀은 빛의 파장과 거의 같은 크기가 된다. 이 장에서는 맥스웰 방정식에서 출발해 빛을 전자기 파동으로 다시 세운다. 그리고 파장·위상·복소 굴절률·분산·세기라는 말이 픽셀 설계에서 각각 어떤 숫자로 나타나는지 확인한다.

맥스웰 방정식에서 파동 방정식을 유도하고, 평면파의 $\mathbf E$, $\mathbf B$, $\mathbf k$ 관계와 위상 속도 $c/n$을 설명한다.
진공 파장과 매질 속 파장 $\lambda_0/n$을 구분하고, 픽셀 피치가 "몇 파장"인지 계산한다.
위상 속도와 군속도, 군굴절률 $n_g = n-\lambda\,dn/d\lambda$의 차이를 파속 시뮬레이션으로 확인한다.
복소 굴절률 $n+i\kappa$에서 흡수 계수 $\alpha = 4\pi\kappa/\lambda_0$를 구하고, 실리콘에서 R·G·B·NIR 광자가 흡수되는 깊이를 비교한다.
코시·셀마이어 분산 모델로 픽셀 스택 재료의 $n(\lambda)$를 다루고, 조도(lux)를 픽셀당 광자 수로 환산한다.

맥스웰 방정식에서 파동 방정식으로

19세기 중반 맥스웰(J. C. Maxwell)은 전기와 자기의 법칙 네 개를 하나로 묶었다. 그리고 그 방정식이 진공에서 초속 30만 km로 달리는 파동을 허용한다는 것을 발견했다. 그 속도는 당시 측정된 빛의 속도와 같았다. 이렇게 빛은 전자기파(Electromagnetic Wave)가 되었다. 이 책의 모든 계산, 렌즈 설계에서 RCWA까지가 결국 이 네 줄을 근사해서 푸는 일이다.

전하와 전류가 없고, 선형·등방·비자성인 매질(유리, 산화막, 폴리머, 실리콘 대부분이 해당)에서 맥스웰 방정식은 다음과 같다.

$$\nabla\cdot\mathbf D = 0,\quad \nabla\cdot\mathbf B = 0,\quad \nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t},\quad \nabla\times\mathbf H = \frac{\partial \mathbf D}{\partial t}$$

$\mathbf D = \varepsilon_0\varepsilon_r\mathbf E$(전기 변위), $\mathbf B = \mu_0\mathbf H$(자기 선속 밀도). $\varepsilon_r$은 매질의 상대 유전율이다. 광 주파수에서 대부분 재료의 상대 투자율은 1이다.

세 번째 식(패러데이 법칙)에 회전(curl)을 한 번 더 취하고 네 번째 식을 대입한다. 벡터 항등식 $\nabla\times\nabla\times\mathbf E = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla^2\mathbf E$에서 균일한 매질이면 $\nabla\cdot\mathbf E = 0$이므로 다음 파동 방정식(Wave Equation)이 남는다.

$$\nabla^2\mathbf E = \mu_0\varepsilon_0\varepsilon_r\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2} = \frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},\qquad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = 299\,792\,458\ \text{m/s},\qquad n=\sqrt{\varepsilon_r}$$

$n$이 굴절률(Refractive Index)이다. 매질 안에서 파동은 $v = c/n$의 속도로 진행한다. 굴절률은 "빛이 매질 안에서 얼마나 느려지는가"를 나타내는 수이며, 근본적으로는 유전율의 제곱근이다.

여기서 두 가지를 기억하자. 첫째, 굴절률은 상수가 아니라 주파수의 함수 $\varepsilon_r(\omega)$에서 온다. 그래서 파장마다 다르다. 이것이 분산이다. 둘째, 유전율은 복소수일 수 있다. 허수부는 매질이 에너지를 흡수한다는 뜻이고, 실리콘 포토다이오드가 빛을 전자로 바꾸는 일 자체가 이 허수부에서 나온다(6절).

그림 1-1. $+z$로 진행하는 선형 편광 평면파. 전기장 $\mathbf E$(빨강), 자기장 $\mathbf B$(보라), 파동 벡터 $\mathbf k$는 서로 수직이다. 손실 없는 매질에서는 $\mathbf E$와 $\mathbf B$의 위상이 같다. 이웃한 마루 사이 거리가 매질 속 파장 $\lambda_0/n$이다.

왜 전기장만 보나? 광 주파수(수백 THz)에서 물질의 전자는 전기장에는 크게 반응하지만 자기장에는 거의 반응하지 않는다($\mu_r\approx1$). 그래서 흡수, 굴절, 광전 변환을 계산할 때 주인공은 $\mathbf E$다. 실리콘이 흡수하는 전력 밀도도 $\tfrac12\omega\varepsilon_0\,\mathrm{Im}(\varepsilon_r)|\mathbf E|^2$로 전기장 세기에 비례한다. 11장 TMM에서 깊이별 흡수 프로파일을 $|E(z)|^2$로 계산하는 이유가 이것이다.

평면파: 파장, 주파수, 위상

파동 방정식의 가장 간단한 해는 한 방향으로만 변하는 평면파(Plane Wave)다. $+z$로 진행하며 $x$ 방향으로 진동하는 평면파는 다음과 같다.

$$\mathbf E(z,t) = \hat{\mathbf x}\,E_0\cos(kz-\omega t+\phi) = \mathrm{Re}\left\{\hat{\mathbf x}\,E_0\,e^{i(kz-\omega t+\phi)}\right\},\qquad k = \frac{2\pi n}{\lambda_0} = \frac{n\,\omega}{c}$$

$\omega = 2\pi f$는 각주파수, $k$는 파수(rad/m), $\phi$는 초기 위상, $\lambda_0 = c/f$는 진공 파장이다. 괄호 안의 $kz-\omega t+\phi$를 위상(Phase)이라 한다. 위상이 같은 점들의 면(여기서는 $z$ = 상수인 평면)이 파면(Wavefront)이다. 이 책은 $e^{-i\omega t}$ 시간 규약을 쓴다. 그래서 흡수 매질의 굴절률이 $n+i\kappa$ ($\kappa>0$)로 쓰인다.

숫자로 감을 잡아 보자. 초록빛 $\lambda_0 = 550$ nm의 주파수는 $f = c/\lambda_0 = 545$ THz이고, 한 주기는 1.83 fs(펨토초)다. 어떤 전자 회로도 이 진동을 직접 따라갈 수 없다. 그래서 광검출기는 전기장이 아니라 시간 평균 세기(전기장 제곱의 평균)만 측정한다. 위상 정보는 측정 과정에서 사라지며, 간섭(5장)이나 홀로그래피처럼 우회하는 방법으로만 되살릴 수 있다.

파동의 에너지는 연속적으로 흐르지 않고 광자(Photon) 단위로 주고받는다. 광자 하나의 에너지는 다음과 같다.

$$E_{\text{ph}} = hf = \frac{hc}{\lambda_0}\quad\Longrightarrow\quad E_{\text{ph}}[\text{eV}] \approx \frac{1239.84}{\lambda_0[\text{nm}]}$$

$h = 6.626\times10^{-34}$ J·s. 550 nm 광자는 2.25 eV, 940 nm NIR 광자는 1.32 eV다. 실리콘 밴드갭 1.12 eV보다 큰 에너지의 광자만 전자–정공 쌍을 만들 수 있다.

주파수는 매질이 바뀌어도 변하지 않는다(경계면에서 시간 진동이 연속이어야 하므로). 바뀌는 것은 속도와 파장이다. 파장 $\lambda = \lambda_0/n$은 매질 안에서 짧아진다. 아래 시뮬레이터에서 매질을 바꾸며 확인해 보자. 화면 속 시간은 약 $10^{15}$배 느리게 재생되지만, 매질 사이의 속도 비율은 실제와 같다.

SIMULATOR

평면파의 E·B 장과 매질 속 파장

진공 파장 λ₀

매질

자기장 B 표시 공기 중 파동과 비교

주파수 f—

주기 T—

굴절률 n—

매질 속 파장 λ₀/n—

위상 속도 c/n—

광자 에너지—

해볼 것: ① 매질을 Si로 바꾸면 같은 3 µm 구간에 파장이 4배쯤 더 촘촘히 들어간다. 위쪽의 공기 중 파동과 주기(시간 진동)는 같고, 마루가 움직이는 속도만 느려지는 것을 확인하자. ② λ₀를 1100 nm 쪽으로 옮기면 광자 에너지가 실리콘 밴드갭 1.12 eV에 가까워진다. (Si의 흡수는 이 그림에서 생략했다. 6절에서 다룬다.)

전자기 스펙트럼과 실리콘이 보는 빛

전파, 마이크로파, 적외선, 가시광, 자외선, X선은 모두 같은 맥스웰 방정식의 해이고 주파수만 다르다. 사람 눈이 보는 가시광(Visible Light)은 대략 380~780 nm이며, 명소시 감도 곡선 $V(\lambda)$는 555 nm에서 최대다. 실리콘 이미지 센서는 이보다 넓게 본다. 단파장 쪽은 표면 근처 흡수와 재결합 손실 때문에 약 350~400 nm에서 감도가 떨어진다. 장파장 쪽에는 밴드갭 한계가 있다.

$$\lambda_{\text{cutoff}} = \frac{hc}{E_g} = \frac{1239.84\ \text{eV·nm}}{1.12\ \text{eV}} \approx 1107\ \text{nm}$$

$E_g$는 실온 실리콘의 밴드갭. 이보다 긴 파장의 광자는 전자–정공 쌍을 만들지 못하고 실리콘을 그대로 통과한다. 실리콘은 간접 밴드갭 반도체라 흡수에 포논의 도움이 필요하다. 그래서 차단 파장 직전(900~1100 nm)에도 흡수가 매우 약하다.

그림 1-2. 전자기 스펙트럼(위, 로그 눈금)과 300–1200 nm 확대(아래). 실리콘의 감도 영역은 가시광보다 훨씬 넓어서, 가시광 카메라는 IR 컷 필터로 650 nm 이상을 막는다(11장, 12장). 보안·차량·3D 센싱용 센서는 반대로 850/940 nm NIR 광원을 쓴다.

센서 개발자가 자주 다루는 파장을 표로 정리했다. 광자 에너지와 주파수는 정확한 값이고, 마지막 열은 이 책 OPT 라이브러리의 실리콘 굴절률 모델로 계산한 값이다.

용도	λ₀ (nm)	f (THz)	E (eV)	Si 속 파장 λ₀/n (nm)
청색 (B 픽셀 피크)	450	666	2.76	96 (n≈4.67)
녹색 (G 픽셀 피크)	530	566	2.34	127 (n≈4.17)
적색 (R 픽셀 피크)	620	484	2.00	159 (n≈3.90)
NIR 보안·DMS 광원	850	353	1.46	232 (n≈3.66)
NIR ToF·구조광	940	319	1.32	260 (n≈3.61)
Si 밴드갭 한계	1107	271	1.12	312 (n≈3.55)

매질 속 파장: 픽셀은 몇 파장인가

기하광학(2장)은 "파장이 0에 가까워지는" 극한의 근사다. 이 근사가 맞는지는 구조의 크기 $D$와 그 매질 속 파장 $\lambda_0/n$의 비율로 판단한다. 비율이 수십 이상이면 광선으로 생각해도 된다. 몇 배 수준이면 회절과 간섭이 결과를 좌우한다.

$$N_\lambda = \frac{D}{\lambda_0/n} = \frac{nD}{\lambda_0}$$

$D$는 픽셀 피치나 마이크로렌즈 지름 같은 구조 크기, $nD$는 광학 거리(Optical Path Length)다. 같은 기하 길이라도 굴절률이 높은 매질에서는 "더 많은 파장"이 들어간다.

0.7 µm 픽셀을 예로 들자. 550 nm 빛에 대해 공기 중에서는 1.27파장, 산화막($n\approx1.46$) 속에서는 1.86파장이다. 실리콘($n\approx4.08$) 속에서는 5.2파장이다. 즉 마이크로렌즈와 컬러 필터가 있는 광학 스택 위쪽에서는 픽셀이 겨우 한두 파장 크기다. 빛이 렌즈처럼 깔끔하게 모이지 않고 회절로 퍼져서 이웃 픽셀로 넘어간다(13장, 14장). 반면 굴절률이 큰 실리콘 안에서는 같은 폭이 다섯 파장이 넘어서 DTI 사이의 "도파로"처럼 행동한다.

그림 1-3. 0.7 µm 픽셀(BSI)의 각 층에서 550 nm 빛의 파장. 초록 선이 파면(마루)이며 축척은 가로세로 같다. 위쪽 저굴절 층에서는 피치가 1~2파장에 불과하다. 실리콘 안에서는 파장이 135 nm로 줄어 피치가 5파장 이상이 된다.

SIMULATOR

픽셀 단면 속 파면: 층마다 바뀌는 파장

진공 파장 λ₀ 픽셀 피치 p 실리콘 흡수(세기 감쇠) 표시

공기 중 p/λ—

컬러 필터 속 p/(λ₀/n)—

산화막 속—

실리콘 속—

Si 흡수 깊이 1/α—

해볼 것: ① 피치를 0.56 µm, 파장을 650 nm로 두면 컬러 필터 속에서도 피치가 1.4파장밖에 안 된다. 이 크기에서는 "광선이 마이크로렌즈로 모인다"는 그림이 근사일 뿐이다. ② 450 nm에서는 실리콘 위쪽 0.4 µm 안에서 세기가 거의 사라진다. 900 nm 이상에서는 그림의 실리콘 바닥(2.2 µm)까지 거의 그대로 내려간다. (수직 입사의 평면파만 그린다. 층 경계의 반사와 회절은 10·11·15장에서 다룬다.)

위상 속도와 군속도

평면파의 마루가 움직이는 속도가 위상 속도(Phase Velocity) $v_p = \omega/k = c/n$이다. 하지만 정보나 에너지를 실어 나르는 실제 빛은 무한히 긴 단색파가 아니다. 유한한 길이의 파속(Wave Packet)이고, 파속은 여러 주파수 성분의 합이다. 매질의 굴절률이 주파수마다 다르면 성분들이 조금씩 다른 속도로 달린다. 그 결과 포락선(Envelope)은 위상과 다른 속도로 움직이는데, 이를 군속도(Group Velocity)라 한다.

$$v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{c}{n_g},\qquad n_g = n + \omega\frac{dn}{d\omega} = n - \lambda_0\frac{dn}{d\lambda_0}$$

$n_g$는 군굴절률(Group Index). 투명 영역의 대부분 재료는 파장이 짧을수록 $n$이 커진다(정상 분산, $dn/d\lambda_0 < 0$). 그래서 $n_g > n$이고 포락선이 마루보다 느리다. 흡수선 근처의 이상 분산 영역에서는 $v_g$가 $c$를 넘는 것처럼 보이기도 하지만, 이때는 포락선 자체가 찌그러져 신호 속도의 의미가 없다.

그림 1-4. 파속의 반송파(실선)와 포락선(점선). 정상 분산 매질에서는 $v_p > v_g$라서, 포락선을 따라가며 보면 마루가 뒤에서 생겨 앞으로 빠져나간다.

실리콘은 가시광에서 분산이 매우 크다. 550 nm에서 $n = 4.08$인데 $n_g \approx 6.0$이다. 450 nm 근처에서는 직접 전이 흡수대(약 370 nm)의 꼬리가 가까워서 $n_g$가 9를 넘는다. 반면 산화막은 $n=1.46$, $n_g=1.48$로 차이가 작다. 아래 시뮬레이터는 $\lambda_0$ 주변 64개 주파수 성분을 OPT.n()의 실제 분산으로 더해서 파속을 만든다. 화면은 군속도로 함께 움직이는 좌표계에서 본 모습이다.

SIMULATOR

분산 매질 속 파속: 위상 속도 vs 군속도

매질

중심 파장 λ₀ 스펙트럼 폭 Δλ (FWHM)

재생 속도

위상 굴절률 n—

군굴절률 n_g—

v_p / v_g—

진행 거리—

파속 폭 (FWHM)—

해볼 것: ① Si에서 빨간 점(마루 하나)이 포락선을 앞질러 빠져나가는 속도를 SiO₂와 비교하자. $v_p/v_g = n_g/n$이 1에서 멀수록 빠르다. ② "빠르게"로 바꾸고 Si, λ₀ = 470 nm, Δλ = 80 nm로 두면 10 µm 남짓만 진행해도 포락선이 넓어지고 비대칭이 된다. 이것이 군속도 분산(GVD)이다. ③ 위상은 측정되지 않지만, 마이컬슨 간섭계(5장)의 결맞음 길이나 박막 간섭 무늬의 간격은 $n_g$로 결정된다.

실무에서 $n_g$가 나오는 곳 분광 반사율로 박막 두께를 측정할 때, 간섭 무늬 주기 $\Delta(1/\lambda) = 1/(2n_g d)$에 들어가는 것은 $n$이 아니라 $n_g$다. 실리콘 위 산화막처럼 분산이 작으면 차이가 1~2%지만, 실리콘 자체(SOI 두께 측정 등)는 $n_g/n\approx1.2$~1.5라서 $n$을 쓰면 두께가 크게 틀린다. ToF 센서의 거리 계산도 공기 중 군속도를 쓴다.

복소 굴절률과 흡수

매질이 빛을 흡수하면 유전율에 허수부가 생기고, 굴절률도 복소수가 된다.

$$\tilde n = n + i\kappa,\qquad \varepsilon_r = \tilde n^2 = (n^2-\kappa^2) + i\,2n\kappa$$

$n$은 위상(속도)을 정하는 실수부, $\kappa$는 소광 계수(Extinction Coefficient)다. $e^{-i\omega t}$ 규약에서 흡수 매질은 $\kappa > 0$이다. OPT.n(mat, nm)이 돌려주는 {re, im}이 바로 $(n, \kappa)$다.

평면파 $e^{i\tilde n k_0 z}$에 복소 굴절률을 넣으면 진동 항과 감쇠 항으로 나뉜다.

$$E(z) = E_0\,e^{i n k_0 z}\,e^{-\kappa k_0 z}\quad\Longrightarrow\quad I(z) = I_0\,e^{-2\kappa k_0 z} = I_0\,e^{-\alpha z},\qquad \alpha = \frac{4\pi\kappa}{\lambda_0}$$

$k_0 = 2\pi/\lambda_0$. $\alpha$는 세기의 흡수 계수(Absorption Coefficient)로, 보통 cm⁻¹ 단위를 쓴다. $1/\alpha$가 흡수 깊이(Absorption Depth, Penetration Depth), 즉 세기가 $1/e$ (37%)로 줄어드는 거리다. 진폭은 $2/\alpha$마다 $1/e$로 줄어든다.

$\kappa$가 작아 보여도 효과는 크다. 550 nm에서 실리콘의 $\kappa$는 0.028에 불과하지만 $\alpha = 4\pi(0.028)/550\,\text{nm} = 6.4\times10^3\ \text{cm}^{-1}$이고, 흡수 깊이는 1.6 µm다. 금속은 $\kappa$가 수~십이다. 알루미늄은 550 nm에서 $\kappa\approx6.7$이라 흡수 깊이가 7 nm도 안 된다. 그래서 금속 그리드와 배선은 빛을 거의 다 반사하거나, 수십 nm 안에서 흡수해 버린다.

그림 1-5. 흡수 매질에 들어간 파동. 실수부 $n$이 파장을 $\lambda_0/n$으로 줄이고, 허수부 $\kappa$가 진폭을 지수적으로 줄인다. 세기(진폭의 제곱)는 $e^{-\alpha z}$로 감쇠한다.

경계면에서 반사되는 비율도 복소 굴절률로 정해진다. 공기에서 수직으로 입사할 때 반사율은 다음과 같다(10장에서 유도).

$$R = \left|\frac{1-\tilde n}{1+\tilde n}\right|^2 = \frac{(n-1)^2+\kappa^2}{(n+1)^2+\kappa^2}$$

실리콘(550 nm, $n=4.08$)은 $R\approx37\%$다. 반사 방지막 없이 맨 실리콘을 쓰면 광자의 1/3 이상을 표면에서 잃는다. BSI 픽셀의 실리콘 위에 HfO₂/Ta₂O₅/SiO₂ 다층 반사 방지막을 올리는 이유다(11장).

SIMULATOR

흡수 매질로 들어가는 파동: n과 κ의 역할

매질

진공 파장 λ₀ 매질 구간 길이 진폭 포락선 표시

ñ = n + iκ—

흡수 계수 α—

흡수 깊이 1/α—

표면 반사 R—

구간 끝까지 흡수—

해볼 것: ① Si에서 λ₀를 400 → 1000 nm로 옮기면 흡수 깊이가 0.1 µm에서 150 µm로 1000배 넘게 바뀐다. ② W(텅스텐)와 Al은 수십 nm 안에서 빛이 사라지고, 왼쪽 공기에 반사파와의 간섭으로 정재파가 생긴다(Al은 R≈90%). ③ R 필터에서 450 nm와 650 nm를 비교하자. 컬러 필터는 결국 파장 선택적으로 κ가 큰 "흡수 매질"이다. 위쪽은 순간 전기장 Re{E}, 아래 띠는 세기 |E|²이다.

베르–람베르트 법칙과 실리콘 흡수 깊이

흡수 계수가 $\alpha$인 매질에서 두께 $d$를 지난 빛의 세기는 베르–람베르트 법칙(Beer–Lambert Law)을 따른다. 반사를 무시하면, 두께 $d$의 실리콘이 흡수하는 비율 $\eta_{\text{abs}}$와 깊이 $z$에서의 광생성률 $G(z)$는 다음과 같다.

$$I(z) = I_0 e^{-\alpha z},\qquad \eta_{\text{abs}}(d) = 1 - e^{-\alpha d},\qquad G(z) = \Phi_0\,\alpha\, e^{-\alpha z}\ \ [\text{쌍/cm}^3\text{s}]$$

$\Phi_0$는 실리콘에 들어간 광자 플럭스(광자/cm²s)다. 흡수된 광자 하나가 전자–정공 쌍 하나를 만든다(가시광에서 양자 수율 ≈ 1). 실제 내부 양자 효율은 생성 위치에서 전자가 포토다이오드까지 수집되는지에 달려 있다. 표면 근처는 계면 결함 재결합, 깊은 곳은 수집 영역 밖이라는 손실이 생긴다.

실리콘의 $\alpha$는 가시광 범위에서만 세 자릿수가 변한다. 그래서 파장마다 전자가 생기는 깊이가 완전히 다르다. 3 µm 두께 BSI 픽셀(빛이 실리콘 뒷면으로 입사)에서 계산하면 다음과 같다(반사 손실 제외, 단일 통과).

λ₀ (nm)	α (cm⁻¹)	1/α (µm)	3 µm 흡수율	6 µm 흡수율	의미
450 (B)	2.55×10⁴	0.39	~100%	~100%	입사면 0.5 µm 안에서 대부분 흡수. 표면 패시베이션이 청색 QE를 결정
530 (G)	7.9×10³	1.26	91%	99%	중간 깊이. 대부분 흡수
620 (R)	3.5×10³	2.82	65%	88%	깊이 전체에 분포. 얇은 Si에서 QE 손실
850 (NIR)	535	18.7	15%	27%	대부분 통과. 광 트래핑 필요
940 (NIR)	1.8×10²	55.7	5.2%	10%	거의 투명. 두꺼운 Si + 표면 산란 구조 필수

그림 1-6. 3 µm 두께 BSI 픽셀에서 파장별 광생성 분포(축척 맞춤). 청색은 입사면 바로 아래에서, 적색은 깊이 전체에서 흡수된다. NIR은 대부분 실리콘을 통과한다. 그래서 같은 픽셀이라도 색마다 QE, 크로스토크, 계면 의존성이 다르다.

SIMULATOR

실리콘 흡수 깊이와 픽셀 두께

실리콘 두께 d

그래프

커서 파장 뒷면 완전 반사 (2회 통과)

커서 1/α—

커서 흡수율—

450 / 530 / 620—

850 / 940—

흡수의 절반이 일어나는 깊이—

해볼 것: ① 두께를 3 µm에서 6 µm로 늘리면 940 nm 흡수율이 얼마나 오르는지 보자. 두 배가 되어도 10% 수준이다. 그래서 NIR 픽셀은 두께만이 아니라 광 트래핑(14장)으로 광경로를 늘린다. ② "뒷면 완전 반사"는 광경로를 2d로 늘린 이상적 경우다. ③ 아래 그림은 커서 파장의 깊이별 생성률 $G(z)\propto\alpha e^{-\alpha z}$를 실제 축척으로 그린 것이다. 표에는 없는 1000 nm 이상에서 흡수 깊이가 얼마나 빨리 커지는지도 확인하자.

실무 노트: "청색은 표면, 적색은 깊이" 픽셀 개발에서 청색 QE가 떨어지면 먼저 입사면 계면(BSI 뒷면 패시베이션, HfO₂/Al₂O₃ 고정 전하, 표면 도핑)과 반사 방지막을 의심한다. 적색·NIR QE나 크로스토크가 문제라면 실리콘 두께, DTI 깊이, 앞면 금속에서 반사된 빛의 경로를 본다. 같은 "QE 저하"라도 파장별로 원인이 갈린다. 흡수 깊이 표 하나가 첫 진단 도구가 된다. 또 1/α는 온도에 따라 변한다. 밴드갭이 온도가 오르면 줄어들어서 NIR 흡수는 고온에서 늘어난다. 차량용 센서(−40~105 °C)의 NIR QE가 온도에 따라 수십 % 변하는 이유다.

분산: 코시와 셀마이어 모델

굴절률이 파장에 따라 변하는 현상이 분산(Dispersion)이다. 물리적 원인은 전자(와 격자)의 공진이다. 매질 속 전자를 감쇠 조화 진동자로 보면(로렌츠 모델) 유전율은 공진 주파수 $\omega_j$ 근처에서 크게 변한다. 공진에서 멀리 떨어진 투명 영역에서는 감쇠를 무시할 수 있다. 이때 공진 파장 $\lambda_j$를 써서 정리한 것이 셀마이어 식(Sellmeier Equation)이다.

$$n^2(\lambda) = 1 + \sum_j \frac{B_j\lambda^2}{\lambda^2-C_j},\qquad C_j = \lambda_j^2$$

$B_j$는 진동자 세기, $C_j$는 공진 파장의 제곱(µm²)이다. 유리·산화막은 자외선 공진 두세 개와 적외선 공진 하나로 0.2~2 µm에서 소수점 다섯째 자리까지 맞는다. 용융 실리카(SiO₂)의 계수는 $B = (0.6962, 0.4079, 0.8975)$, $\sqrt{C} = (0.0684, 0.1162, 9.896)$ µm이다(Malitson, 1965).

셀마이어 식을 $1/\lambda^2$의 거듭제곱으로 전개하면 더 단순한 코시 식(Cauchy Equation)이 된다. 박막 측정 장비(엘립소미터)가 투명 박막에 흔히 쓰는 모델이다.

$$n(\lambda) \approx A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4}$$

$\lambda$는 µm 단위. 마이크로렌즈 수지는 대략 $A\approx1.58$, $B\approx0.008\ \mu\text{m}^2$이다. 코시 식은 투명 영역에서만 유효하다. 흡수대 근처나 실리콘처럼 강하게 흡수하는 재료는 측정된 $(n,\kappa)$ 표나 Tauc–Lorentz 같은 물리 모델을 쓴다.

분산의 크기는 렌즈 설계에서 아베수(Abbe Number) $V_d = (n_d-1)/(n_F-n_C)$로 나타낸다. $n_F$, $n_d$, $n_C$는 486.1, 587.6, 656.3 nm에서의 굴절률이다. $V_d$가 작을수록 분산이 크다. 색수차와 아베수는 2장과 4장에서 자세히 다룬다. 픽셀 스택의 주요 재료를 정리하면 다음과 같다(OPT 모델값).

재료	픽셀 내 역할	n @450	n @550	n @650	V_d	모델
SiO₂	평탄화·층간 절연, 반사 방지 최상층	1.466	1.460	1.457	68	셀마이어
Si₃N₄	패시베이션, 반사 방지, 광 도파 코어	2.079	2.052	2.037	34	셀마이어
HfO₂	실리콘 위 고정 전하층·반사 방지	1.971	1.941	1.924	26	코시
마이크로렌즈 수지	온칩 렌즈·평탄화	1.620	1.606	1.599	40	코시
저굴절 산화막	저굴절 그리드, 공기층 대체	1.250	1.247	1.245	64	코시
컬러 필터(G) 안료	색 분리(흡수)	1.639	1.620	1.608	—	코시 + 흡수
실리콘	광전 변환	4.67	4.08	3.85	—	측정 표

실리콘의 굴절률은 450 nm에서 650 nm 사이에 0.8이나 변한다. 실리콘 위 반사 방지막을 한 파장에만 맞추면 다른 색에서 반사가 크게 늘어나는 이유다. 반면 산화막과 수지의 분산은 작다. 그래도 마이크로렌즈의 초점 거리는 $n-1$에 반비례하므로 청색과 적색에서 2~4% 차이가 난다.

SIMULATOR

재료 분산 곡선 n(λ)과 군굴절률

재료

커서 파장 λ₀ 군굴절률 n_g 함께 표시

n(λ₀)—

dn/dλ—

n_g—

아베수 V_d—

n(450) − n(650)—

해볼 것: ① SiO₂와 TiO₂를 비교하자. 굴절률이 높은 재료일수록 자외선 공진이 가시광에 가까워 분산도 커진다($V_d$ 68 → 12). 고굴절 재료로 메타렌즈를 만들 때 색수차가 커지는 이유다. ② Si는 400–500 nm에서 $n_g$가 급격히 커진다. 3.4 eV(약 365 nm) 직접 전이 흡수대의 영향이다. ③ y축 범위는 재료마다 자동으로 바뀐다.

크라머스–크로니히 관계 $n(\omega)$와 $\kappa(\omega)$는 서로 독립이 아니다. 인과율(응답이 자극보다 먼저 올 수 없음)로부터 $n(\omega)-1 = \frac{2}{\pi}\mathcal P\!\int_0^\infty \frac{\omega'\kappa(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega'$이 성립한다. 자외선에서 강하게 흡수하는 재료일수록 가시광에서 굴절률이 높고 분산이 크다. 실리콘의 큰 $n$과 큰 분산은 3.4 eV, 4.2 eV의 강한 흡수에서 나온다. 엘립소미터 피팅 모델이 크라머스–크로니히를 만족하도록 만들어지는 이유도 이것이다.

세기, 포인팅 벡터와 광자 플럭스

전자기파가 운반하는 에너지의 흐름은 포인팅 벡터(Poynting Vector) $\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H$로 나타낸다. 광검출기는 수백 THz 진동을 따라가지 못하므로 시간 평균을 측정한다. 이 평균값이 세기(Intensity) 또는 면에 입사하는 경우의 조도(Irradiance)다.

$$I = \langle|\mathbf S|\rangle = \frac12\,n\,\varepsilon_0 c\,|E_0|^2 \quad[\text{W/m}^2],\qquad \Phi_{\text{ph}} = \frac{I}{hc/\lambda_0}\quad[\text{광자/m}^2\text{s}]$$

$\varepsilon_0 c = 1/(377\ \Omega)$. 같은 세기라도 굴절률이 큰 매질 안에서는 전기장 진폭이 $1/\sqrt n$로 작아진다. 광자 플럭스 $\Phi_{\text{ph}}$는 픽셀이 받는 "알갱이 수"이며 샷 노이즈를 정한다.

세기 1 W/m²는 진폭 27.4 V/m의 전기장에 해당한다. 맑은 날 햇빛(약 1000 W/m²)도 진폭이 870 V/m에 불과하다. 실내 조명 아래 센서 면의 조도는 mW/m² 수준이다. 그래서 선형 광학이 잘 맞는다. 비선형 효과는 펄스 레이저 정도의 세기에서나 나타난다.

카메라 분야는 사람 눈 기준인 조도(lux)(Illuminance)를 쓴다. 1 lux = 1 lm/m²이고, 555 nm 단색광에서 1 W = 683 lm이다. 따라서 555 nm 단색광 1 lux는 1.46 mW/m², 광자로 약 4,100개/µm²s다. 백색광은 $V(\lambda)$ 가중 때문에 같은 1 lux에 더 많은 광자가 필요하다. 5000 K 흑체를 가시 대역(380–700 nm)으로 자르면 1 lux ≈ 1.1×10⁴ 광자/µm²s다.

렌즈를 거쳐 센서 면에 도달하는 조도는 장면의 조도 $E_v$, 반사율 $\rho$(람베르트 표면), 렌즈 투과율 $T$, F-넘버 $N$으로 정해진다(3장, 12장).

$$E_{\text{sensor}} \approx \frac{\rho\,T\,E_v}{4N^2}\qquad\Longrightarrow\qquad N_{\text{ph}} = E_{\text{sensor}}\cdot K_{\text{ph}}\cdot p^2\cdot t_{\text{exp}}$$

$K_{\text{ph}}$는 스펙트럼으로 정해지는 "lux당 광자 플럭스", $p$는 픽셀 피치, $t_{\text{exp}}$는 노출 시간. 광축 근처, 물체가 먼 경우의 근사다.

그림 1-7. 장면 조도에서 픽셀당 광자 수까지. 사무실 조명(500 lux) 아래의 18% 회색 물체를 F/1.8, 1 µm 픽셀, 1/30 s로 찍으면 픽셀에 도달하는 광자는 약 2,300개다. QE 60%이면 신호 전자는 약 1,400개, 샷 노이즈 SNR은 약 37(31 dB)이다.

SIMULATOR

조도(lux) → 센서 면 광자 수와 전기장 세기

장면 조도 E_v 광원 색온도 F-넘버 픽셀 피치 p 노출 시간

센서 면 조도—

광자 플럭스—

픽셀당 광자—

샷 노이즈 SNR (QE 60%)—

등가 전기장 진폭 E₀—

해볼 것: ① 1 lux(촛불 하나 거리 1 m 수준), F/1.8, 0.7 µm 픽셀, 1/30 s이면 픽셀당 광자는 몇 개인가? 겨우 2개 남짓이다. 0.1 lux(보름달)에서는 평균 1개도 안 된다. 소형 픽셀에서 픽셀 비닝(Quad Bayer)을 쓰는 이유다. ② 색온도를 2800 K(백열등)로 내리면 같은 lux에서 광자 수가 오히려 늘어난다. 적색 쪽 광자는 $V(\lambda)$가 작아 lux에 적게 기여하지만 개수로는 포함되기 때문이다. 그래프는 픽셀 하나가 노출 동안 받는 광자의 스펙트럼(380–700 nm, IR 컷 가정, 10 nm 구간당)이다.

왜 광자 수로 생각해야 하나 픽셀의 신호와 노이즈는 W가 아니라 개수로 결정된다. 평균 $\bar N$개의 광자를 받으면 포아송 통계에 따라 표준편차가 $\sqrt{\bar N}$이다. 픽셀 면적을 절반으로 줄이면 신호가 절반이 되고 SNR은 $1/\sqrt2$로 떨어진다(−3 dB). 같은 이유로 광학 스택에서 잃는 몇 %의 반사·흡수 손실이 저조도 SNR에 그대로 반영된다. 이 책 후반부(11~14장)에서 반사 방지막과 마이크로렌즈로 "몇 %"를 되찾으려 애쓰는 이유다. 노이즈 전반은 SensorBook의 노이즈 장을 참고하자.

핵심 정리

맥스웰 방정식은 균일 매질에서 파동 방정식 $\nabla^2\mathbf E = (n^2/c^2)\,\partial_t^2\mathbf E$가 되고, 빛은 속도 $c/n$으로 진행하는 횡파다. $n=\sqrt{\varepsilon_r}$.
주파수는 매질이 바뀌어도 그대로이고, 파장만 $\lambda_0/n$으로 바뀐다. 0.7 µm 픽셀은 산화막·컬러 필터 속에서 1~2파장, 실리콘 속에서 5파장 정도다. 광학 스택 상부에서는 파동광학이 필수다.
광자 에너지는 $1239.84/\lambda_0[\text{nm}]$ eV이고, 실리콘은 1.12 eV 밴드갭 때문에 약 1.1 µm보다 긴 파장을 검출하지 못한다.
파속의 포락선은 군속도 $c/n_g$, $n_g = n-\lambda_0\,dn/d\lambda_0$로 움직인다. 실리콘은 가시광에서 $n_g$가 $n$보다 1.5배 이상 크다.
복소 굴절률 $n+i\kappa$에서 세기는 $e^{-\alpha z}$, $\alpha = 4\pi\kappa/\lambda_0$로 감쇠한다. 실리콘의 흡수 깊이는 450 nm에서 0.4 µm, 620 nm에서 2.8 µm, 940 nm에서 56 µm다.
청색은 입사면 근처에서, 적색은 깊이 전체에서 흡수되고, NIR은 대부분 통과한다. QE·크로스토크 진단은 파장별 흡수 깊이에서 시작한다.
투명 재료의 분산은 셀마이어·코시 식으로 기술하고, 분산의 크기는 아베수 $V_d$로 나타낸다. 고굴절 재료일수록 분산이 크다.
세기는 $\tfrac12 n\varepsilon_0 c|E_0|^2$이고, 센서 면 조도는 장면 조도의 $\rho T/(4N^2)$배다. 1 lux 백색광은 약 10⁴ 광자/µm²s이며, 픽셀의 SNR은 광자 개수로 정해진다.

확인 퀴즈

Q1. 550 nm 빛이 공기에서 SiO₂(n = 1.46)로 들어갈 때 변하지 않는 것은?

경계면 양쪽에서 시간 진동이 연속이어야 하므로 주파수(545 THz)는 그대로다. 파장은 550/1.46 = 377 nm로, 속도는 c/1.46으로 줄고, 파수 k = 2πn/λ₀는 1.46배 커진다.

Q2. 0.8 µm 피치 픽셀의 실리콘 내부(n ≈ 3.9 @ 620 nm)에서, 피치는 매질 속 파장의 대략 몇 배인가?

λ₀/n = 620/3.9 ≈ 159 nm, 0.8 µm / 0.159 µm ≈ 5.0. 같은 픽셀이 공기 중에서는 1.3파장, 컬러 필터 속에서는 약 2파장이다.

Q3. 실리콘의 소광 계수가 κ = 0.0175 (620 nm)일 때 흡수 깊이 1/α는?

α = 4πκ/λ₀ = 4π(0.0175)/(0.62 µm) = 0.355 µm⁻¹ → 1/α ≈ 2.8 µm. 진폭이 1/e로 줄어드는 거리(5.6 µm)와 헷갈리지 말자.

Q4. 3 µm 두께 BSI 픽셀에서 반사를 무시하고 단일 통과로 940 nm 광자의 흡수율을 계산하면 대략? (1/α ≈ 56 µm)

1 − e^(−3/56) ≈ 0.052. NIR 센서가 두꺼운 실리콘, 뒷면 반사, 표면 피라미드·역피라미드 산란 구조로 광경로를 늘리는 이유다.

Q5. 정상 분산 매질에서 파속의 위상 속도 v_p와 군속도 v_g의 관계로 옳은 것은?

정상 분산에서는 dn/dλ < 0이라 n_g = n − λ dn/dλ > n이다. 따라서 v_g = c/n_g < c/n = v_p이고, 포락선 안에서 마루가 뒤에서 앞으로 지나간다.

Q6. 실리콘이 1.2 µm 빛을 거의 검출하지 못하는 근본 이유는?

E = 1239.84/1200 ≈ 1.03 eV < 1.12 eV. 전자를 전도대로 올릴 수 없어서 실리콘이 사실상 투명해진다. 그래서 SWIR(1.4–1.7 µm) 센서는 InGaAs나 Ge, 양자점 등을 쓴다.

Q7. 맨 실리콘 표면(550 nm, n = 4.08, κ ≈ 0.03)에 수직 입사할 때 반사율에 가장 가까운 값은?

R ≈ (n−1)²/(n+1)² = 3.08²/5.08² = 0.368. κ의 영향은 무시할 만하다. 반사 방지막 없이는 광자의 1/3 이상을 잃는다.

Q8. 같은 조건에서 F/1.8 렌즈를 F/2.4로 바꾸고 픽셀을 1.0 µm에서 0.7 µm로 줄였다. 픽셀당 광자 수는 대략 몇 배가 되나?

센서 면 조도 ∝ 1/N²: (1.8/2.4)² = 0.5625. 픽셀 면적: 0.7² = 0.49. 곱하면 ≈ 0.28배. 샷 노이즈 SNR은 √0.28 ≈ 0.53배(−5.5 dB)가 된다.

Q9. 셀마이어 식이 잘 맞지 않는 경우는?

셀마이어 식은 공진에서 멀리 떨어진 투명 영역에서 감쇠를 무시한 모델이다. 흡수대 근처의 실리콘은 κ가 크고 n이 급변하므로 측정된 (n, κ) 표나 Tauc–Lorentz 같은 모델이 필요하다.