Chapter 03

렌즈와 결상: 동공과 주광선

2장에서 광선 하나하나를 굴절시키는 법을 배웠다면, 이 장에서는 렌즈 시스템 전체를 몇 개의 점과 면으로 요약하는 법을 배운다. 주요점(Cardinal Points)으로 결상을 계산하고, 조리개가 어디에 있느냐에 따라 입사동·출사동과 주광선이 어떻게 정해지는지 따라가면, 센서 개발자가 매일 마주치는 숫자들 — F/#, NA, 주광선각(CRA), 에텐듀, 심도, 텔레센트릭 — 이 모두 한 그림 안에서 연결된다.

가우스·뉴턴 결상식을 부호 규약과 함께 쓰고, 모바일 AF 행정 같은 실제 수치를 계산한다.
시스템 행렬에서 초점거리·주평면·초점 위치를 뽑아내고, 망원형·레트로포커스 구성이 왜 필요한지 설명한다.
조리개 스톱과 시야 스톱을 구분하고, 입사동·출사동의 위치와 크기를 구한다.
주광선과 주변 광선을 정의하고, 출사동 위치가 센서 위 주광선각(CRA)을 결정함을 보인다.
F/#, 작동 F/#, 상측 NA의 관계와 라그랑주 불변량·에텐듀 보존이 작은 픽셀의 집광 한계를 정한다는 것을 이해한다.
픽셀 피치로 허용 착란원을 정해 심도·과초점 거리를 구하고, 센서 포맷별 화각과 CRA를 비교한다.

결상 방정식: 가우스와 뉴턴

근축 영역에서 렌즈 시스템은 물체 공간의 점을 상 공간의 점으로, 직선을 직선으로, 광축에 수직인 평면을 수직인 평면으로 옮기는 공선 변환(Collinear Transformation)이다. 따라서 시스템이 아무리 복잡해도 결상 관계는 몇 개의 기준점만 알면 계산할 수 있다. 이 장에서는 2장의 ABCD 행렬과 일관되도록 데카르트 부호 규약을 쓴다.

이 장의 부호 규약

빛은 왼쪽에서 오른쪽으로 진행한다. 거리는 기준점(렌즈 또는 주평면)에서 오른쪽이 +, 왼쪽이 −. 높이는 위가 +. 각도는 광선이 광축에서 반시계 방향으로 기울면 +(즉 위로 올라가는 광선의 기울기 $u = dy/dz > 0$). 실물체는 $z < 0$, 실상은 $z' > 0$이다. 상측 초점거리는 $f'$, 물측 초점거리는 $f = -f'$(양쪽이 공기일 때).

주평면(다음 절)에서 잰 물체 거리 $z$, 상 거리 $z'$에 대해 가우스 결상식(Gaussian Lens Equation)은 다음과 같다.

$$\frac{n'}{z'} - \frac{n}{z} = \frac{n'}{f'} = \Phi, \qquad m = \frac{y'}{y} = \frac{n\,z'}{n'\,z}$$

$n, n'$: 물체·상 공간 굴절률(공기 중이면 1), $\Phi$: 굴절력(Power, 단위 m⁻¹ = 디옵터), $m$: 횡배율. 공기 중에서는 $1/z' - 1/z = 1/f'$. 예: $z=-2f'$이면 $z' = 2f'$, $m=-1$(같은 크기의 도립 실상).

거리를 주평면 대신 초점에서 재면 식이 더 대칭적이 된다. 물측 초점 F에서 물체까지 $x$, 상측 초점 F′에서 상까지 $x'$이라 하면 뉴턴 결상식(Newtonian Equation)은

$$x\,x' = f\,f' = -f'^2, \qquad m = -\frac{f}{x} = \frac{f'}{x} = -\frac{x'}{f'}$$

공기 중 기준. 크기만 보면 $|x|\,|x'| = f'^2$. 물체가 무한원($x\to-\infty$)이면 $x'=0$, 즉 상이 F′에 맺힌다. $x'$이 바로 초점 조절량(AF 행정)이다.

그림 3-1. 가우스 식은 렌즈(주평면)에서, 뉴턴 식은 초점에서 거리를 잰다. 그림은 $z=-2.4f'$인 경우로 $z' = 1.71f'$, $x=-1.4f'$, $x' = 0.71f'$이며 $x\,x' = -f'^2$이 성립한다.

계산 예 — 모바일 AF 행정. 1/1.3″ 메인 카메라의 $f' = 6.9$ mm 렌즈로 10 cm 앞 물체를 찍는다. $x \approx -(100 - 6.9) = -93.1$ mm이므로 $x' = f'^2/|x| = 47.6/93.1 = 0.51$ mm. 렌즈를 센서에서 0.5 mm 더 떨어뜨려야 한다. 1 m에서는 48 µm, 3 m에서는 16 µm에 불과하다. VCM 액추에이터의 행정이 수백 µm인 이유이고, 매크로 촬영(수 cm)을 위해 행정을 늘리거나 별도 초광각 카메라로 접사를 하는 이유다. 반대로 초점 오차 1 µm가 영상에 얼마나 영향을 주는지는 8절의 심도와 4장의 수차에서 다시 다룬다.

두꺼운 렌즈와 주요점

실제 렌즈는 두께가 있고, 모바일 렌즈는 5~7장이 몇 mm 안에 붙어 있다. 그래도 근축 결상만 따지면 시스템 전체를 여섯 개의 주요점(Cardinal Points)으로 대신할 수 있다.

초점 F, F′ (Focal Points): 광축에 평행한 광선이 모이는 점(F′), 그리고 지나간 뒤 평행이 되는 점(F).
주평면 H, H′ (Principal Planes): 입사 광선 연장선과 출사 광선 연장선이 만나는 면. H와 H′ 사이는 배율 +1로 결상되므로, 광선은 H에서 같은 높이로 H′로 "순간이동"한 뒤 꺾인다고 보면 된다. 초점거리 $f'$은 H′에서 F′까지의 거리다.
절점 N, N′ (Nodal Points): N을 향해 들어온 광선이 같은 각도로 N′에서 나간다(각배율 +1). 물체·상 공간 매질이 같으면(공기–공기) 절점은 주점과 일치한다. 눈처럼 상 공간이 물($n'\approx1.336$)이면 N, N′은 H, H′에서 $f'-f$ 정도 비켜난다.

2장의 근축 광선 행렬(높이 $y$, 환산 각도 $nu$)을 쓰면 주요점이 기계적으로 나온다. 앞면 꼭짓점에서 뒷면 꼭짓점까지의 시스템 행렬을 $\mathbf M = \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$라 하면

$$\mathbf M = \begin{pmatrix}1&0\\-\Phi_2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&d/n\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-\Phi_1&1\end{pmatrix},\quad \Phi_1=\frac{n-1}{R_1},\;\Phi_2=\frac{1-n}{R_2}$$ $$\Phi = -C = \Phi_1+\Phi_2-\frac{d}{n}\Phi_1\Phi_2,\qquad \text{BFL} = \frac{A}{\Phi},\qquad \overline{V_2H'} = \frac{A-1}{\Phi} = -\frac{d\,\Phi_1}{n\,\Phi}$$

$d$: 중심 두께, $n$: 렌즈 굴절률, $R_1, R_2$: 앞·뒷면 곡률 반경(곡률 중심이 오른쪽이면 +). $A = 1 - d\Phi_1/n$. BFL(Back Focal Length)은 뒷면 꼭짓점 $V_2$에서 F′까지, 마찬가지로 앞면 꼭짓점에서 H까지는 $(1-D)/\Phi = d\Phi_2/(n\Phi)$, F까지는 $-D/\Phi$. $\det\mathbf M = 1$(공기–공기)이다.

그림 3-2. 두꺼운 양볼록 렌즈($R_1=-R_2=50$ mm, $d=10$ mm, $n=1.5$)의 주요점. 평행 입사 광선의 연장선과 출사 광선의 연장선은 H′에서, F를 지나는 광선은 H에서 만난다. 초점거리 $f'=51.7$ mm는 꼭짓점이 아니라 주평면에서 잰다.

SIMULATOR

두꺼운 렌즈의 주요점: 렌즈 굽힘에 따라 주평면이 이동한다

프리셋

앞면 곡률 1/R₁ 뒷면 곡률 1/R₂ 중심 두께 d 굴절률 n

초점거리 f′—

굴절력 Φ—

BFL (V₂→F′)—

H (V₁ 기준)—

H′ (V₂ 기준)—

해볼 것: ① 양볼록 → 평볼록으로 바꾸면 H′이 곡면 쪽 꼭짓점에 붙는다(평면 쪽에서는 $\Phi_2 = 0$이라 H가 앞면에). ② 메니스커스에서는 주평면이 렌즈 밖으로 나간다 — 같은 f′이라도 BFL이 크게 달라진다. ③ 볼 렌즈는 두 주평면이 모두 중심에 모인다($f' = nR/2(n-1)$). ④ 두께 d를 키우면 양볼록 렌즈의 굴절력이 $-\frac{d}{n}\Phi_1\Phi_2$만큼 줄어드는 것을 확인. 길이 단위는 mm. 광선은 근축(꼭짓점 평면에서 굴절)으로 그렸다.

주평면이 렌즈 밖으로 나갈 수 있다는 사실은 모바일 렌즈에서 아주 중요하다. 스마트폰 두께 제약 때문에 렌즈 첫 면에서 센서까지의 길이(TTL(Total Track Length))는 초점거리보다 짧거나 비슷해야 하는데, 이를 가능하게 하는 것이 H′을 렌즈 앞쪽으로 끌어내는 구성이다. 다음 절에서 두 렌즈로 이를 확인하자.

2매 렌즈 시스템: 망원형과 레트로포커스

굴절력 $\Phi_1, \Phi_2$인 두 얇은 렌즈가 공기 중 간격 $d$로 놓여 있으면, 2장의 행렬 곱으로 바로 다음 결과를 얻는다.

$$\Phi = \Phi_1 + \Phi_2 - d\,\Phi_1\Phi_2,\qquad \text{BFL} = \frac{1-d\Phi_1}{\Phi},\qquad \overline{L_2H'} = -\frac{d\,\Phi_1}{\Phi}$$

$\overline{L_2H'}$는 둘째 렌즈에서 H′까지(음수면 렌즈 앞쪽). 같은 식이 $\Phi_1, \Phi_2$를 두꺼운 렌즈의 두 면, $d$를 $d/n$으로 바꾸면 앞 절의 두꺼운 렌즈 식이 된다.

망원형(Telephoto): 양(+) 렌즈 뒤에 음(−) 렌즈. H′이 시스템 앞으로 나가 $\text{TTL} < f'$. 망원비 $\text{TTL}/f'$이 1보다 작다. 스마트폰 렌즈 대부분이 앞쪽 양 렌즈군 + 뒤쪽 음 굴절(마지막 갈매기 날개 렌즈의 중심부)로 이루어진 일종의 망원형이고, 잠망경형 망원 카메라도 같은 원리로 길이를 줄인다.
레트로포커스(Retrofocus, 역망원형): 음 렌즈 뒤에 양 렌즈. H′이 뒤로 물러나 $\text{BFL} > f'$. 초광각 렌즈가 짧은 $f'$에도 필터·커버 유리를 넣을 공간을 확보하는 방법이다. 모바일 초광각 렌즈의 앞쪽 큰 음 메니스커스가 이 역할을 한다.

SIMULATOR

2매 렌즈: 시스템 행렬로 본 초점거리·BFL·TTL

프리셋

렌즈 1 f₁ 렌즈 2 f₂ 간격 d

시스템 f′—

BFL—

TTL (L₁→상)—

망원비 TTL/f′—

H′ (L₁ 기준)—

해볼 것: ① 망원형에서 망원비가 0.64까지 내려가는 것 — 75 mm 초점거리를 48 mm 길이에 담는다. ② d를 줄여 두 렌즈를 붙이면(d→0) $\Phi\to\Phi_1+\Phi_2$가 되고 H′이 렌즈 위치로 돌아온다. ③ 레트로포커스에서 BFL이 f′보다 큰 것을 확인. ④ $d = f_1 + f_2$로 맞추면 $\Phi = 0$, 무한 초점(Afocal) 망원경이 된다. 길이 단위 mm.

실무 노트 — "초점거리"는 어디서 재나?

렌즈 사양서의 EFL(Effective Focal Length)은 H′→F′ 거리이고, 기구 설계에서 중요한 것은 BFL(마지막 면→상면)과 FBL(Flange Back Length, 기구 기준면→상면)이다. 센서 쪽에서 보면 BFL 안에 IR 컷 필터(0.11~0.21 mm), 센서 커버 유리 또는 COB 갭, 그리고 마이크로렌즈 위 공기층이 모두 들어가야 한다. 두께 $t$, 굴절률 $n$인 평판 유리는 상면을 $t(1-1/n)$만큼 뒤로 민다($t=0.21$ mm, $n=1.52$이면 72 µm). F/1.8 렌즈의 초점 심도가 ±4 µm 정도이므로 필터 두께 공차와 이 보정을 무시할 수 없다.

조리개 스톱과 시야 스톱

지금까지는 렌즈가 무한히 크다고 가정했다. 실제 시스템에서는 렌즈 테두리, 경통, 조리개판, 센서 가장자리처럼 빛을 자르는 스톱(Stop)이 여럿 있다. 그중 두 가지가 특별하다.

조리개 스톱(Aperture Stop): 축상 물점에서 나온 광속(光束)의 굵기를 제한하는 스톱. 상의 밝기(F/#)와 회절 한계를 정한다. 모바일 렌즈에서는 첫 렌즈 앞이나 첫·둘째 렌즈 사이의 얇은 차광판이 조리개 스톱이다(대부분 고정 조리개).
시야 스톱(Field Stop): 찍히는 물체 범위, 즉 화각을 제한하는 스톱. 카메라에서는 상면에 놓인 센서의 유효 화소 영역이 시야 스톱이다. 그래서 같은 렌즈라도 센서가 크면 화각이 넓어진다(9절).

어느 스톱이 조리개 스톱인지는 "축상 물점에서 볼 때 가장 작게 보이는 스톱"으로 판정한다. 각 스톱을 그 앞쪽 렌즈들로 물체 공간에 결상한 상(像)을 구하고, 축상 물점에서 그 상들이 이루는 각이 가장 작은 것이 조리개 스톱이다. 물체 거리가 바뀌면 조리개 스톱이 바뀔 수도 있다.

그림 3-3. 조리개 스톱은 각 물점에서 들어오는 광속의 굵기(밝기)를, 시야 스톱(센서 유효 영역)은 어느 물점까지 찍힐지(화각)를 정한다. 축외 물점의 광속 중심 광선 — 스톱 중심을 지나는 광선 — 이 주광선이다.

렌즈 테두리처럼 조리개 스톱도 시야 스톱도 아닌 개구가 축외 광속의 일부를 잘라내는 현상이 비네팅(Vignetting)이다. 모바일 렌즈는 크기를 줄이려고 화면 구석에서 의도적으로 상하 광속을 깎는 경우가 많고, 이것이 cos⁴ 법칙과 함께 주변 광량 저하의 한 요인이 된다(12장).

입사동·출사동, 주광선과 주변 광선

조리개 스톱은 보통 렌즈들 사이에 숨어 있다. 물체 쪽에서 렌즈를 들여다보면 스톱 자체가 아니라 앞쪽 렌즈들이 만든 스톱의 상이 보이는데, 이것이 입사동(Entrance Pupil, EnP)이다. 마찬가지로 상(센서) 쪽에서 보이는, 뒤쪽 렌즈들이 만든 스톱의 상이 출사동(Exit Pupil, ExP)이다. 입사동·스톱·출사동은 모두 서로 켤레(Conjugate)다.

두 개의 특별한 광선이 시스템을 규정한다.

주변 광선(Marginal Ray): 축상 물점에서 나와 조리개 스톱의 가장자리를 지나는 광선. 입사동 가장자리를 향해 들어가 출사동 가장자리에서 나온다. 이 광선의 상측 각도가 상측 NA(F/#)를, 광선이 광축과 만나는 곳이 상의 위치를 정한다.
주광선(Chief Ray, Principal Ray): 축외 물점에서 나와 조리개 스톱의 중심을 지나는 광선. 물체 공간에서는 입사동 중심을, 상 공간에서는 출사동 중심을 향한다(연장선 기준). 이 광선의 높이가 상 높이를, 센서에 닿는 각도가 바로 주광선각(Chief Ray Angle, CRA)이다.

그림 3-4. 모바일 렌즈처럼 스톱이 맨 앞에 있으면 스톱이 곧 입사동이다. 출사동은 렌즈군이 만든 스톱의 허상으로 렌즈 안쪽(센서에서 수 mm)에 생기며, 상 공간의 주광선은 이 출사동 중심에서 나오는 것처럼 보인다. 따라서 출사동이 센서에 가까울수록 CRA가 커진다.

출사동 위치를 $z_{\text{XP}}$(상면에서 출사동까지 거리, 양수)라 하면 근축에서 상 높이 $h'$의 주광선각은

$$\tan\theta_{\text{CRA}}(h') \approx \frac{h'}{z_{\text{XP}}},\qquad m_p = \frac{D_{\text{XP}}}{D_{\text{EP}}}$$

$D_{\text{EP}}, D_{\text{XP}}$: 입사동·출사동 지름, $m_p$: 동공 배율(Pupil Magnification). 실제 모바일 렌즈는 비구면 때문에 출사동 위치가 상 높이에 따라 변해(동공 수차), CRA 곡선이 직선이 아니라 0.7~0.9 필드에서 최대가 되었다가 줄어들기도 한다(12장).

SIMULATOR

스톱 위치 → 입사동·출사동·주광선각(CRA)

스톱 위치 zₛ 화각 (반각) θ F/# 축상 주변 광선 표시

입사동 위치·지름—

출사동 위치·지름—

동공 배율 m_p—

CRA—

자오면 비네팅—

해볼 것: 시스템은 $f_1 = 20$, $f_2 = 10$, 간격 12(단위 mm, 합성 $f' = 11.1$)로 고정이다. ① 스톱을 움직여도 상 위치·초점거리는 그대로지만 주광선 경로, 동공 위치, CRA가 크게 바뀐다. ② "텔레센트릭 위치로"를 누르면 스톱이 L₂의 앞 초점($z_s = d - f_2 = 2$)에 놓여 출사동이 무한원으로 가고 CRA = 0°. ③ 스톱을 L₂ 쪽으로 옮기면 CRA가 커지고 L₁에서 비네팅이 생긴다. ④ 스톱이 L₁ 앞($z_s<0$)이면 입사동 = 스톱. 입사동·출사동(점선)은 허상일 수 있다.

실무 노트 — 렌즈 사양서의 CRA 표

센서 개발자가 렌즈 업체로부터 받는 가장 중요한 표 중 하나가 "상 높이 대비 CRA" 곡선이다. 센서는 이 곡선에 맞춰 화면 위치마다 마이크로렌즈·컬러 필터·그리드를 픽셀 중심에서 광축 쪽으로 이동(Shift)시킨다(13장). CRA 곡선은 출사동 위치(동공 수차 포함)로 정해지므로, 같은 F/#, 같은 초점거리라도 렌즈 설계가 바뀌면 센서의 시프트 맵도 다시 맞춰야 한다. 렌즈–센서 CRA 불일치 2~3°만으로도 코너에서 감도 저하와 색 쉐이딩이 눈에 띈다.

F/#, 작동 F/#, 개구수(NA)

F-넘버(F-number, F/#)는 무한원 물체에 대해 초점거리와 입사동 지름의 비다. 반면 상면에서 실제로 중요한 것은 상에 모이는 광뿔의 반각 $\theta'$이며, 이를 상측 개구수(Image-space Numerical Aperture)로 나타낸다.

$$N = \frac{f'}{D_{\text{EP}}},\qquad \text{NA}' = n'\sin\theta',\qquad N_w = \frac{1}{2\,\text{NA}'} \;\approx\; (1 - m/m_p)\,N$$

$N_w$: 작동 F/#(Working F-number), $m$: 횡배율(실상이면 음수), $m_p$: 동공 배율. 무한원 물체($m=0$)이고 렌즈가 사인 조건(Sine Condition, 4장)을 만족하면 $N_w = N$ 즉 $\text{NA}' = 1/(2N)$이 정확히 성립한다. 매크로($m = -1$, $m_p=1$)에서는 $N_w = 2N$, 즉 상면 조도가 1/4(2스톱)로 어두워진다.

여기서 흔한 오해 하나: $N = 1/(2\tan\theta')$가 아니라 $N = 1/(2\sin\theta')$이다. 주평면은 근축에서만 평면이고, 잘 보정된 렌즈의 "실제 주면"은 F′을 중심으로 하는 구면이기 때문이다. 이 때문에 공기 중 렌즈의 F/#는 원리적으로 $N \ge 0.5$($\theta' = 90°$)이다.

그림 3-5. (왼쪽) 사인 조건을 만족하는 렌즈의 실제 주면은 F′을 중심으로 한 구면이어서 $\sin\theta' = D/(2f') = 1/(2N)$. (오른쪽) F/1.8의 가장자리 광선(공기 중 16.1°)은 센서 산화막(n = 1.46)에 들어가면 11.0°로 꺾인다. NA = n sin θ는 경계면을 지나도 보존된다(스넬 법칙).

F/#	상측 NA	반각 θ′ (공기)	반각 (SiO₂, n=1.46)	상대 광량	초점 심도 ±2λN² (550 nm)	대표 용도
F/1.4	0.357	20.9°	14.2°	2.04×	±2.2 µm	대구경 메인(가변 조리개 개방)
F/1.8	0.278	16.1°	11.0°	1.23×	±3.6 µm	플래그십 메인 카메라
F/2.0	0.250	14.5°	9.9°	1×(기준)	±4.4 µm	메인/전면 카메라
F/2.2	0.227	13.1°	9.0°	0.83×	±5.3 µm	초광각
F/2.8	0.179	10.3°	7.0°	0.51×	±8.6 µm	망원, 차량용
F/4.0	0.125	7.2°	4.9°	0.25×	±17.6 µm	잠망경 망원(장초점)

센서 입장에서 F/#는 두 가지를 정한다. 하나는 픽셀당 광량($\propto p^2/N^2$)이고, 다른 하나는 입사 각도 분포다. 화면 중심 픽셀은 ±θ′ 원뿔로, 코너 픽셀은 CRA를 중심으로 한 원뿔(대략 CRA ± θ′)로 빛을 받는다. F/1.8에 CRA 35°면 가장 기울어진 광선은 공기 중 약 51°에 이른다. 마이크로렌즈와 광학 스택은 이 전체 각도 범위를 받아들여야 한다.

라그랑주 불변량과 에텐듀

주변 광선(높이 $y$, 각도 $u$)과 주광선(높이 $\bar y$, 각도 $\bar u$)을 생각하자. 근축 광선 행렬의 행렬식이 1이라는 사실에서, 어떤 면에서 계산하든 같은 값을 갖는 양이 나온다.

$$\mathcal H = n\,(\bar u\,y - u\,\bar y) = \text{일정} \quad\xrightarrow{\text{물체·상면에서}}\quad \mathcal H = -\,n\,u\,h = -\,n'u'h'$$

이것이 라그랑주 불변량(Lagrange Invariant)이다. 물체·상면에서는 주변 광선 높이 $y = 0$, 주광선 높이 $\bar y = h$이므로 "높이 × 각도 × 굴절률"이 보존된다($h\,n\,u = h'n'u'$). 상을 축소하면($|h'|<|h|$) 각도가 그만큼 커진다.

이를 2차원(면적×입체각)으로 확장한 것이 에텐듀(Étendue, 광학적 확장량)다. 넓이 $A$의 면이 반각 $\theta$ 원뿔로 빛을 주고받을 때

$$G = n^2 \!\int\!\!\int \cos\theta\, dA\, d\Omega = \pi\,n^2 A \sin^2\theta,\qquad G_{\text{in}} \le G_{\text{out}}$$

회전 대칭 시스템에서는 $G = \pi^2\mathcal H^2$. 무손실 수동 광학계에서 에텐듀는 줄어들 수 없다(보존되거나 수차·산란으로 늘어날 뿐). 이는 열역학 제2법칙(휘도 보존, Brightness Theorem)과 같은 내용이다. 렌즈로 태양 상을 만들어도 태양 표면보다 뜨겁게 만들 수 없는 이유다.

그림 3-6. 라그랑주 불변량: 상을 줄이면 각도가 커진다. 픽셀 하나가 받는 빛의 에텐듀는 $G \approx \pi p^2/(4N^2)$이고, 픽셀 아래 어떤 마이크로렌즈나 도파로도 이 빛을 $G/(\pi n^2)$보다 작은 면적으로 모을 수 없다.

작은 픽셀에서의 의미. 피치 $p$인 픽셀이 F/# $N$인 광뿔을 받으면 $G = \pi p^2 \sin^2\theta' \approx \pi p^2/(4N^2)$. 마이크로렌즈가 이 빛을 굴절률 $n$인 스택 안에서 반각 $\theta_m$으로 모은다면 집광 면적은 $A \ge G/(\pi n^2 \sin^2\theta_m)$, 즉 한 변이

$$w_{\text{geo}} \;\ge\; \frac{p\,\sin\theta'}{n\sin\theta_m} = \frac{p}{2N\,\text{NA}_m},\qquad M \approx \frac{G}{\lambda^2} = \frac{\pi p^2}{4N^2\lambda^2}$$

$\text{NA}_m = n\sin\theta_m$: 마이크로렌즈의 집광 개구수. $M$은 픽셀 하나에 들어오는 빛의 공간 모드 수(편광 하나당). 피치 1.0 µm, F/1.8, λ = 550 nm이면 $M \approx 0.8$ — 픽셀이 빛을 한 모드도 채 못 받는다. 이 영역에서는 에텐듀(기하광학)보다 회절이 집광 스팟을 정한다.

SIMULATOR

에텐듀 한계 vs 회절 한계: 픽셀 아래 집광 스팟

렌즈 F/# 마이크로렌즈 NAₘ 파장 λ 픽셀 피치 p

픽셀 에텐듀 G—

모드 수 M = G/λ²—

기하 한계 w_geo—

회절 한계 w_diff—

교차 피치 p*—

해볼 것: $w_{\text{geo}} = p/(2N\,\text{NA}_m)$, $w_{\text{diff}} = 1.22\lambda/\text{NA}_m$(에어리 지름). 두 값의 비는 $\text{NA}_m$과 무관하게 $p\sin\theta'/(1.22\lambda)$로 정해지므로, 교차 피치 $p^* = 1.22\lambda\cdot 2N$보다 작은 픽셀은 언제나 회절 지배다. ① F/1.8·550 nm에서 $p^*\approx2.4$ µm — 현대 모바일 픽셀은 모두 그 아래다. ② 940 nm NIR에서는 $p^*$가 4 µm를 넘는다. ③ 스팟(실선)이 픽셀 폭(점선)에 가까워지면 이웃 픽셀로 새는 빛(크로스토크)이 늘어난다(14장).

에텐듀와 "빛을 모으는" 장치들

마이크로렌즈, 광 파이프, 메타표면 컬러 라우터 같은 장치도 에텐듀를 줄일 수는 없다. 컬러 라우터가 "R 픽셀 위의 G 빛을 G 픽셀로 보내" 효율을 높이는 것은 에텐듀 위반이 아니다. 파장별로 서로 다른 모드 공간을 쓰기 때문이다(각 파장의 에텐듀는 그대로). 반대로 한 픽셀 위 빛을 그 픽셀의 절반 면적 PD에 손실 없이 넣으려면 스택 안 각도가 $\sqrt2$배 넓어져야 하고, 그 각도 여유가 바닥나는 곳이 바로 작은 픽셀의 한계다.

심도와 과초점 거리: 픽셀 기준 착란원

초점 맞은 거리 $s$ 앞뒤의 물점은 상면 앞뒤에 상을 맺어, 센서 위에서 지름 $b$인 블러 원판이 된다. 렌즈 공식에서 블러 지름은($s, x$는 렌즈에서 물체까지 거리의 크기)

$$b(x) = \frac{f'^2}{N\,(s-f')}\cdot\frac{|x - s|}{x},\qquad H = \frac{f'^2}{N\,c} + f'$$

$x$: 다른 물체의 거리, $c$: 허용 착란원 지름, $H$: 과초점 거리(Hyperfocal Distance). 초점을 $H$에 맞추면 $H/2$부터 무한원까지 $b\le c$. 근점 $D_n = s(H-f')/(H+s-2f')$, 원점 $D_f = s(H-f')/(H-s)$ ($s<H$).

필름 시대의 "허용 착란원 = 대각선/1500"은 인화지 크기 기준의 관례다. 센서 공학에서는 픽셀 피치에 묶어 $c = k\,p$(보통 $k = 1{\sim}2$)로 정하는 것이 자연스럽다. 다만 $b$가 $c$보다 작아져도 회절로 인한 에어리 지름 $2.44\lambda N$보다는 작아질 수 없으므로, 실제 블러는 대략 $\sqrt{b^2 + (2.44\lambda N)^2}$로 본다. F/#를 키우면(조이면) 심도는 깊어지지만 회절 블러가 커지는 절충이 있다.

SIMULATOR

심도: 기하 블러 + 회절 블러 vs 물체 거리

초점거리 f′ F/# 초점 거리 s 픽셀 피치 p

허용 착란원 c = k·p

허용 착란원 c—

근점 ~ 원점—

과초점 거리 H—

에어리 지름 2.44λN—

회절 한계 F/# (Airy = c)—

해볼 것: ① 기본값(1/1.3″, f′ 6.9 mm, F/1.8, 1.2 µm, c = 2.4 µm)에서 H ≈ 11 m — 폰 메인 카메라도 2 m 인물 사진에서는 배경이 꽤 흐려진다. ② 피치를 0.56 µm로 줄이면 c가 작아져 같은 렌즈의 "심도"가 얕아진다. 고화소일수록 AF 정밀도가 더 필요한 이유. ③ F/#를 8까지 키우면 에어리 지름(주황 점선)이 c를 넘어 아무리 초점을 맞춰도 픽셀 수준 선명도를 얻지 못한다. λ = 550 nm.

텔레센트릭, 화각과 센서 포맷

조리개 스톱을 뒤쪽 렌즈군의 앞 초점에 두면 출사동이 무한원으로 가고, 모든 주광선이 광축과 평행하게 상면에 들어온다. 이것이 상측 텔레센트릭(Image-space Telecentric)이다. 센서 입장에서는 이상적이다 — CRA가 화면 전체에서 0°이므로 마이크로렌즈 시프트가 필요 없고, 초점이 조금 어긋나도 상의 배율이 변하지 않는다. 머신 비전·측정용 렌즈, 그리고 큰 센서용 고급 렌즈 일부가 텔레센트릭에 가깝게 설계된다.

하지만 모바일 렌즈에서는 불가능에 가깝다. 주광선이 평행하게 나가려면 마지막 렌즈의 지름이 상의 대각선보다 커야 하고, 출사동을 무한원으로 보내려면 TTL이 길어진다. 1/1.3″ 센서(대각 12.3 mm)에 TTL 7~8 mm인 모바일 렌즈는 출사동을 센서에서 수 mm 거리에 두며, 그 결과 코너 CRA가 30~38°에 이른다. 센서는 이 비텔레센트릭(Non-telecentric) 입사를 마이크로렌즈 시프트와 각도 응답 최적화로 받아낸다.

그림 3-7. 텔레센트릭 렌즈는 스톱을 앞 초점에 두어 주광선이 평행하게 나오지만, 마지막 렌즈가 상보다 커야 한다. 모바일 렌즈는 스톱을 앞에 두고 출사동을 센서 가까이 만들어 작고 얇은 대신 큰 CRA를 센서에 넘긴다.

화각은 시야 스톱인 센서 크기와 초점거리로 정해진다. 왜곡이 없는(직선 사영) 렌즈에서 상 높이는 $h' = f'\tan\theta$이므로

$$\text{FOV} = 2\arctan\frac{d_s}{2f'},\qquad f'_{35} = f'\cdot\frac{43.27\ \text{mm}}{d_s}$$

$d_s$: 센서의 대각선(또는 가로·세로) 길이, $f'_{35}$: 35 mm 환산 초점거리(풀프레임 대각 43.27 mm 기준). 환산 24 mm는 대각 화각 84°, 수평 화각(4:3 센서) 약 72°다.

광학 포맷	예시 화소 구성	유효 영역 (mm)	대각 (mm)	24 mm 환산에 필요한 f′	최대 상 높이 h′
1/3″	13 MP · 1.12 µm	4.48 × 3.36	5.60	3.1 mm	2.80 mm
1/2.55″	12 MP · 1.4 µm	5.64 × 4.23	7.06	3.9 mm	3.53 mm
1/2″	48 MP · 0.8 µm	6.40 × 4.80	8.00	4.4 mm	4.00 mm
1/1.56″	50 MP · 1.0 µm	8.19 × 6.14	10.24	5.7 mm	5.12 mm
1/1.4″	200 MP · 0.56 µm	9.14 × 6.85	11.42	6.3 mm	5.71 mm
1/1.3″	50 MP · 1.2 µm	9.79 × 7.37	12.26	6.8 mm	6.13 mm
1″ (모바일)	50 MP · 1.6 µm	13.11 × 9.83	16.38	9.1 mm	8.19 mm

"1/1.3인치"는 실제 대각 길이가 아니라 진공관 시대의 관례(1″형 ≈ 대각 16 mm)에서 온 이름이다. 센서가 커질수록 같은 화각을 위해 $f'$과 TTL이 비례해서 커지는데, 폰 두께는 그대로이므로 대형 센서일수록 출사동을 센서에 더 가깝게 두어야 하고, CRA가 커지는 경향이 있다.

SIMULATOR

센서 포맷·화각과 출사동 거리 → CRA·마이크로렌즈 시프트

센서 포맷

35 mm 환산 초점거리 출사동–상면 거리 광학 스택 높이 t

실제 초점거리 f′—

대각 / 수평 화각—

코너 CRA—

스택 내 각도 (n=1.5)—

코너 ML 시프트 ≈ t·tanθ_in—

해볼 것: 곡선은 근축 모델 $\tan\theta_{\text{CRA}} = h'/z_{\text{XP}}$이다(실제 렌즈는 동공 수차로 휘어진다 — 12장). ① 포맷을 1″로 바꾸면 같은 $z_{\text{XP}}$에서 코너 CRA가 커진다. ② $z_{\text{XP}}$를 40 mm까지 늘리면 텔레센트릭에 가까워져 시프트가 거의 0이 된다. ③ 스택 높이 t를 1 µm로 낮추면 같은 CRA에서도 필요한 시프트가 절반 — BSI 박형 스택이 큰 CRA에 유리한 이유. 시프트는 스택 상부(마이크로렌즈)와 PD 사이 단순 기하 모델.

핵심 정리

가우스식 $1/z' - 1/z = 1/f'$는 주평면에서, 뉴턴식 $x x' = -f'^2$은 초점에서 거리를 잰다. $x'$이 곧 AF 행정이며 $f'=6.9$ mm 렌즈의 10 cm 접사는 0.51 mm, 1 m는 48 µm다.
임의의 근축 시스템은 초점·주평면·절점의 주요점으로 요약된다. 시스템 행렬에서 $\Phi = -C$, $\text{BFL} = A/\Phi$이며, 주평면은 렌즈 밖으로 나갈 수 있다.
망원형(+, −)은 TTL < f′, 레트로포커스(−, +)는 BFL > f′을 만든다. 모바일 렌즈는 짧은 TTL을 위해 망원형 성격을 갖는다.
조리개 스톱은 광속의 굵기(밝기·NA), 시야 스톱(센서 유효 영역)은 화각을 정한다. 입사동·출사동은 각각 물체·상 공간에서 본 스톱의 상이다.
주변 광선은 축상 물점에서 스톱 가장자리로, 주광선은 축외 물점에서 스톱 중심으로 간다. 센서에서 주광선의 각도가 CRA이며 근축에서 $\tan\theta_{\text{CRA}} \approx h'/z_{\text{XP}}$.
$N = f'/D_{\text{EP}}$, $\text{NA}' = n'\sin\theta' = 1/(2N_w)$. F/1.8은 NA 0.278, 반각 16.1°(산화막 안 11.0°)이며 NA는 경계면을 지나도 보존된다.
라그랑주 불변량 $nuh$와 에텐듀 $G = \pi n^2 A\sin^2\theta$는 보존되거나 늘어날 뿐이다. 픽셀당 에텐듀 $\approx\pi p^2/(4N^2)$, 1 µm 픽셀은 1 모드 이하의 빛을 받으므로 집광은 회절이 지배한다.
허용 착란원을 $c = kp$로 잡으면 과초점 거리 $H = f'^2/(Nc) + f'$. 피치가 작을수록 심도는 얕고, F/#를 키우면 에어리 지름 $2.44\lambda N$이 한계를 정한다.
텔레센트릭(CRA = 0)은 마지막 렌즈가 상보다 커야 해 모바일에선 불가능하다. 모바일 렌즈는 코너 CRA 30~38°를 센서에 넘기고, 센서는 마이크로렌즈 시프트로 대응한다.

확인 퀴즈

Q1. f′ = 5 mm 렌즈로 50 cm 앞 물체에 초점을 맞추려면 무한원 초점 위치에서 렌즈를 대략 얼마나 움직여야 할까?

뉴턴식 $|x'| = f'^2/|x| = 25/(500-5) \approx 0.0505$ mm ≈ 50 µm. 초점거리가 짧은 폰 렌즈가 작은 행정으로 AF를 하는 이유다.

Q2. 두꺼운 렌즈의 주평면에 대한 설명으로 옳은 것은?

H–H′은 단위 배율 켤레면이다. 초점거리는 H′→F′(EFL), 뒷면 꼭짓점→F′은 BFL이다. 메니스커스·망원형에서는 주평면이 시스템 밖으로 나간다. 공기–공기에서는 N = H, N′ = H′.

Q3. 두 얇은 렌즈 f₁ = +30 mm, f₂ = −20 mm가 18 mm 간격으로 놓였다. 시스템 초점거리는?

$\Phi = \Phi_1+\Phi_2 - d\Phi_1\Phi_2 = 0.0333 - 0.05 + 18\times0.0333\times0.05 = 0.0133$ mm⁻¹ → $f' = 75$ mm. BFL = $(1-d\Phi_1)/\Phi = 30$ mm로 TTL 48 mm, 망원비 0.64.

Q4. 모바일 렌즈에서 "주광선"의 정의로 옳은 것은?

주광선은 스톱 중심(따라서 입사동·출사동 중심)을 지나는 광선이다. 얇은 렌즈에 스톱이 붙어 있을 때만 "렌즈 중심을 지나는 광선"과 일치한다. 첫 번째 보기는 주변 광선이다.

Q5. 출사동이 상면에서 8 mm 앞에 있는 렌즈가 상 높이 4 mm에 만드는 근축 CRA는 대략?

$\arctan(4/8) = 26.6°$. 출사동을 무한원으로 보내면(텔레센트릭) CRA는 0°가 된다.

Q6. 무한원 물체를 찍는 잘 보정된 F/2.0 렌즈의 상측 NA와, 그 광선이 산화막(n = 1.46) 안에서 이루는 반각은?

$\text{NA} = 1/(2N) = 0.25$, 공기 중 반각 $\arcsin 0.25 = 14.5°$. NA는 보존되므로 산화막 안 $\sin\theta = 0.25/1.46 = 0.171$ → 9.9°.

Q7. 같은 렌즈(F/1.8)에서 픽셀 피치를 1.4 µm에서 0.7 µm로 줄였다. 픽셀 하나가 받는 빛의 에텐듀는?

$G \approx \pi p^2/(4N^2)$은 면적에 비례하므로 1/4. 에텐듀는 수동 광학 소자로 늘릴 수 없으므로 마이크로렌즈 형상으로 회복할 수 없다. 렌즈를 밝게(N↓) 하는 것만이 각도 쪽 에텐듀를 키운다.

Q8. 허용 착란원을 픽셀 피치의 2배로 잡을 때, 피치가 작은 고화소 센서로 바꾸면(렌즈 동일) 과초점 거리는?

$H \approx f'^2/(Nc)$에서 $c$가 줄면 $H$가 커진다. 픽셀 수준 선명도를 요구하는 고화소 센서는 같은 렌즈에서 심도가 얕아지고, AF 정밀도가 더 필요하다.

Q9. 상측 텔레센트릭 렌즈의 특징이 아닌 것은?

주광선이 광축과 평행하게 상면에 닿으려면 마지막 렌즈가 상의 대각선보다 커야 한다. 그래서 얇은 폰에는 맞지 않고, 모바일 렌즈는 큰 CRA를 허용한다.