Chapter 02

기하광학: 광선과 굴절

1장에서 빛은 파동이라고 했다. 그런데 렌즈 설계자는 수천만 개의 광선을 추적해 렌즈를 만들고, 픽셀 엔지니어도 "주광선이 몇 도로 들어와 마이크로렌즈를 지나 어디에 떨어지는가"를 매일 그린다. 이 장에서는 파동을 광선이라는 화살표로 바꿔 생각해도 되는 조건을 먼저 확인하고, 페르마 원리에서 스넬의 법칙·전반사·분산·근축 근사·광선 행렬까지 기하광학의 도구 상자를 하나씩 꺼낸다. 마지막에는 이 도구로 센서 위 광학 스택과 DTI 속을 지나는 광선을 직접 따라간다.

광선 근사가 성립하는 조건(구조 크기 ≫ 파장, 프레넬 수 ≫ 1)을 말하고, 서브마이크론 픽셀에서 왜 조심해야 하는지 설명한다.
페르마 원리로부터 반사·굴절 법칙을 유도하고, 스넬의 법칙을 파장별 굴절률과 함께 계산한다.
전반사 임계각과 탈출 원뿔을 구하고, DTI·광파이프·저굴절 그리드가 빛을 가두는 원리를 연결한다.
프리즘 분산과 아베수로 재료의 색 분산을 정량화한다.
구면 굴절식과 근축 근사를 쓰고, 큰 각도에서 근사 오차가 얼마나 커지는지 확인한다.
ABCD 광선 행렬로 여러 소자를 지나는 광선을 추적하고 결상 위치·배율·초점거리를 계산한다.
평판 층에서 $n\sin\theta$가 보존됨을 이용해, 실리콘 속 광선 각도가 왜 항상 작은지 설명한다.

광선 광학은 언제 유효한가

파동의 등위상면(Wavefront)에 수직인 곡선을 따라 에너지가 흐른다. 이 곡선이 광선(Ray)이다. 파장 $\lambda$가 주변 구조(렌즈 크기, 개구, 굴절률이 변하는 거리)보다 충분히 작으면 파동 방정식은 위상 $S(\mathbf r)$에 대한 아이코널 방정식(Eikonal Equation)으로 줄어든다.

$$E(\mathbf r) \approx A(\mathbf r)\,e^{\,i k_0 S(\mathbf r)},\qquad |\nabla S|^2 = n^2(\mathbf r),\qquad \frac{d}{ds}\!\left(n\,\frac{d\mathbf r}{ds}\right) = \nabla n$$

$k_0 = 2\pi/\lambda_0$, $S$: 광경로(Optical Path, 단위 길이), $A$: 천천히 변하는 진폭, $s$: 광선을 따라 잰 길이. 셋째 식은 광선 방정식(Ray Equation)으로, 균일 매질($\nabla n = 0$)에서 광선이 직선임을 말한다. 근사의 조건은 $A$와 $n$이 한 파장 안에서 거의 변하지 않는 것, 즉 $\lambda\,|\nabla A|/A \ll 1$이다.

이 근사는 회절을 버린다. 광선 그림에서 개구는 날카로운 그림자를 만들고, 초점은 크기가 0인 점이 된다. 실제로는 개구 폭 $a$를 지난 빛이 대략 $\lambda/a$ 라디안만큼 퍼진다. 거리 $z$에서 이 퍼짐($\lambda z/a$)이 개구 크기 $a$보다 훨씬 작으면 광선 그림이 맞다. 둘의 비가 프레넬 수(Fresnel Number)다.

$$N_F = \frac{(a/2)^2}{\lambda_m\, z},\qquad \lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$$

$a$: 개구 폭, $z$: 개구에서 관측면까지 거리, $\lambda_m$: 매질 속 파장. $N_F \gg 1$이면 기하광학(그림자 영역이 선명), $N_F \sim 1$이면 프레넬 회절(가장자리 무늬가 그림자 전체를 덮음), $N_F \ll 1$이면 프라운호퍼 회절(원거리 회절 무늬). 자세한 회절 이론은 6장에서 다룬다.

그림 2-1. 왼쪽: 광선은 등위상면의 법선이다. 오른쪽: 모바일 카메라 렌즈의 조리개는 파장의 수천 배이므로 광선 추적이 잘 맞지만, 0.7 µm 픽셀은 공기 중 파장의 1.3배, 컬러 필터 속에서도 2파장 남짓이다. 픽셀 내부에서는 광선 그림을 "직관용"으로만 써야 한다.

구조	크기 a	매질 속 λ (550 nm)	a / λ_m	광선 근사
모바일 렌즈 조리개 (F/1.8, f′ = 6 mm)	3.3 mm	550 nm	~6000	매우 좋음 (회절은 초점 크기만 결정)
IR 컷 필터·커버 유리 두께	110~300 µm	~360 nm	~500	좋음 (박막 코팅은 별도: 11장)
마이크로렌즈 (3 µm 픽셀)	3 µm	~345 nm	~9	대략적 (초점 크기는 회절로 결정)
마이크로렌즈 (1.0 µm 픽셀)	1.0 µm	~345 nm	~3	정성적 직관만
마이크로렌즈 (0.56 µm 픽셀)	0.56 µm	~345 nm	~1.6	부적합 — 파동 해석 필요
DTI 폭 / 금속 그리드 폭	80~150 nm	135~380 nm	< 1	부적합 (서브파장)
Si 광흡수층 두께 (BSI)	3~6 µm	135 nm	~30	깊이 방향은 비교적 양호

SIMULATOR

광선 그림이 깨지는 순간: 개구 뒤의 세기 분포

개구 폭 a 거리 z 파장 λ₀

매질

프레넬 수 N_F—

회절 퍼짐 λ_mz/a—

기하 그림자 안 에너지—

판정—

해볼 것: ① a = 10 µm, z = 2 µm(공기)에서 세기 분포는 거의 직사각형 — 광선 그림 그대로다. ② a를 1 µm(픽셀 하나)로 줄이면 z = 2 µm만 가도 빛이 그림자 밖으로 크게 번진다. ③ 같은 1 µm 개구라도 매질을 Si로 바꾸면 파장이 4배 짧아져 $N_F$가 4배 커지고 번짐이 크게 줄어든다 — 실리콘 속 깊이 방향 광선 그림이 그나마 쓸 만한 이유다. 계산: 2차원 레일리–좀머펠트 적분을 개구 위에서 직접 수치 적분했다(선 광원 근사, 진폭 $\propto e^{ikr}\,z/r^{3/2}$).

픽셀 ≈ 파장일 때의 주의

1.0 µm 이하 픽셀에서 "마이크로렌즈가 빛을 한 점에 모은다"는 광선 그림은 정성적으로만 맞다. 실제 초점은 회절 때문에 반폭이 $\sim 0.5\lambda_m/\text{NA}$인 얼룩이고, 그 크기가 픽셀의 절반을 넘는다. DTI·그리드처럼 파장보다 얇은 구조에서는 광선이 "벽에서 튕긴다"기보다 도파 모드가 형성된다. 이 장의 광선 시뮬레이터는 경향(각도, 이동 방향, 대략적 위치)을 잡는 용도로 쓰고, 정량값은 13장·14장·15장의 파동 해석으로 확인해야 한다.

페르마 원리: 빛은 시간이 정류하는 경로를 고른다

굴절률 $n$인 매질에서 빛의 속도는 $c/n$이므로, 경로를 지나는 데 걸리는 시간은 $\frac1c\int n\,ds$이다. 이 적분을 광경로 길이(Optical Path Length, OPL)라 한다. 페르마 원리(Fermat's Principle)는 두 점 사이를 지나는 실제 광선의 OPL이 이웃한 경로들에 대해 정류값(Stationary)을 가진다는 것이다.

$$\text{OPL} = \int_A^B n(\mathbf r)\,ds,\qquad \delta\!\int_A^B n\,ds = 0$$

대부분 최솟값이지만 꼭 그렇지는 않다. 타원 거울의 한 초점에서 다른 초점으로 가는 모든 반사 경로는 OPL이 같고(결상!), 타원보다 곡률이 큰 오목 거울에서는 실제 경로가 최댓값이 되기도 한다. 핵심은 "1차 변화가 0"이라는 조건이다.

굴절 법칙을 유도해 보자. 점 A가 매질 1($n_1$)에서 경계면으로부터 높이 $a$, 점 B가 매질 2($n_2$)에서 깊이 $b$에 있고, 수평 거리가 $L$이다. 광선이 경계면의 $x$에서 꺾인다면

$$\text{OPL}(x) = n_1\sqrt{x^2+a^2} + n_2\sqrt{(L-x)^2+b^2},\qquad \frac{d\,\text{OPL}}{dx} = n_1\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} - n_2\frac{L-x}{\sqrt{(L-x)^2+b^2}} = 0$$ $$\Longrightarrow\quad n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$$

$\theta_1, \theta_2$: 경계면 법선에서 잰 입사각·굴절각. 같은 방법을 반사에 쓰면 입사각 = 반사각이 나온다. 인명 구조원이 모래사장(빠름)을 더 많이 달리고 물(느림)에서는 짧게 헤엄치는 것과 같은 논리다.

그림 2-2. A에서 B로 가는 여러 경로 중, 직선(기하학적 최단 거리)도, 느린 매질 속 거리를 최소화하는 경로도 아닌 중간 경로에서 광경로 길이가 최소가 된다. 그 경로가 정확히 스넬의 법칙을 만족한다.

SIMULATOR

페르마 원리: 경계면 통과 지점을 움직여 OPL 최소 찾기

통과 지점 x 아래 매질 n₂ 위 매질 n₁

OPL(x)—

OPL 최소 위치—

n₁ sin θ₁—

n₂ sin θ₂—

해볼 것: ① x를 움직이며 아래 그래프의 OPL(x) 곡선을 보자. 최소점에서 두 readout $n_1\sin\theta_1$과 $n_2\sin\theta_2$가 정확히 같아진다. ② n₂를 4.08(Si)까지 키우면 최소점이 B 바로 위로 이동한다 — 느린 매질 속 경로를 최대한 수직으로 짧게 만드는 것이 이득이다. ③ 최소점 근처에서 OPL 곡선이 평평하다는 것(1차 변화 0)이 결상의 핵심이다. 이웃 경로들이 거의 같은 위상으로 도착해 보강 간섭하기 때문이다. 단위: µm.

페르마 원리는 기하광학과 파동광학의 다리다. 광경로 $\text{OPL}$에 $k_0$를 곱하면 위상이 되므로, "OPL이 정류한다"는 말은 "이웃 경로들의 위상이 같아 보강 간섭한다"는 뜻이다. 완벽한 렌즈는 물점에서 상점까지 모든 경로의 OPL을 같게 만드는 장치이고, 그 차이가 바로 파면 수차(Wavefront Aberration)다(4장).

스넬의 법칙과 파장에 따른 굴절

평평한 경계면에서 입사 광선, 반사 광선, 굴절 광선, 법선은 모두 한 평면(입사면) 안에 있고, 다음 두 법칙을 따른다. 파동의 관점에서는 경계면을 따라 위상이 연속이어야 한다는 조건, 즉 접선 방향 파수 $k_x = k_0 n \sin\theta$가 보존된다는 조건과 같다.

$$\theta_r = \theta_1,\qquad n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \;\;\Longleftrightarrow\;\; k_{x} = k_0\,n_1\sin\theta_1 = k_0\,n_2\sin\theta_2$$

벡터형: 단위 입사 방향 $\hat d$, 입사 쪽을 향한 단위 법선 $\hat N$, $\eta = n_1/n_2$, $\cos\theta_1 = -\hat N\!\cdot\!\hat d$일 때 굴절 방향 $\hat t = \eta\,\hat d + \left(\eta\cos\theta_1 - \sqrt{1-\eta^2(1-\cos^2\theta_1)}\right)\hat N$. 근호 안이 음수면 전반사(다음 절). 광선 추적 코드는 모두 이 식 하나로 굴절을 처리한다.

굴절률은 파장에 따라 변하므로(1장의 분산), 같은 각도로 들어온 백색광도 파장마다 다른 각도로 꺾인다. 정상 분산 영역에서는 짧은 파장(청색)의 굴절률이 더 크므로 청색이 더 많이 꺾인다. 이 장에서 쓰는 재료의 굴절률은 OPT.n()으로 계산한다.

SIMULATOR

스넬의 법칙: 재료와 파장에 따른 굴절각

입사각 θ₁

위 매질 (입사)

아래 매질 (굴절)

가시광 9개 파장

θ₂ @ 450 nm—

θ₂ @ 550 nm—

θ₂ @ 650 nm—

색 퍼짐 Δθ (450−650)—

반사율 R @ 550 (비편광)—

해볼 것: ① 공기→TiO₂(분산이 큰 고굴절 재료)에서 청색과 적색이 1° 넘게 갈라진다. ② 공기→Si는 굴절률이 4를 넘어 굴절각이 아주 작고, 반사율이 30% 이상이다(그래서 반사 방지막이 필수, 11장). Si의 강한 분산(450 nm에서 4.67, 650 nm에서 3.85)도 확인. ③ 위 매질을 Si, 아래를 SiO₂로 두고 입사각을 21° 넘게 키우면 굴절 광선이 사라진다 — 전반사. 반사 광선 굵기는 프레넬 반사율 $R$에 비례하게 그렸다.

그림 2-3. 스넬의 법칙의 파동적 의미. 경계면을 따라 잰 파면의 주기 $\Lambda = \lambda_0/(n_1\sin\theta_1) = \lambda_0/(n_2\sin\theta_2)$가 양쪽에서 같아야 파면이 끊기지 않는다. 매질 2에서 파장이 짧아지면, 같은 Λ를 맞추려고 파면이 덜 기울어진다(광선이 법선 쪽으로 꺾인다).

전반사와 임계각

빛이 굴절률이 큰 쪽에서 작은 쪽으로($n_1 > n_2$) 갈 때, 굴절각은 입사각보다 크다. 입사각이 임계각(Critical Angle) $\theta_c$에 이르면 굴절각이 90°가 되고, 그 이상에서는 굴절 광선이 존재할 수 없어 에너지 전부가 반사된다. 이것이 전반사(Total Internal Reflection, TIR)다.

$$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1},\qquad \text{탈출 원뿔 비율 } \eta_{\text{esc}} = \frac{1-\cos\theta_c}{2}$$

$\eta_\text{esc}$: 매질 1 안에서 등방적으로 방출된(또는 산란된) 빛 중, 한 평면 경계면을 통해 빠져나갈 수 있는 입체각 비율(프레넬 반사 무시). 전반사 상태에서도 경계면 너머로 파장 정도 깊이의 소산파(Evanescent Wave)가 스며 나온다. 그래서 얇은 저굴절층 너머에 고굴절 물질이 있으면 빛이 터널링한다(FTIR, 10장).

그림 2-4. 고굴절 매질 안의 점광원에서 나온 빛 중 탈출 원뿔(반각 θ_c) 안의 빛만 경계면을 통과한다. Si/SiO₂에서는 반구의 3.3%에 불과하다. 실리콘 안에서 산란되거나 비스듬히 반사된 빛이 쉽게 갇히는 이유이고, NIR 광 트래핑이 가능한 이유다.

경계면 (n₁ → n₂, 550 nm)	n₁	n₂	임계각 θ_c	탈출 원뿔 비율	픽셀에서의 의미
Si → SiO₂ (DTI 산화막)	4.08	1.46	21.0°	3.3%	DTI 벽에서 대부분의 광선이 전반사
Si → 저굴절막 (n≈1.25)	4.08	1.25	17.8°	2.4%	저굴절 충전 DTI, 더 강한 가둠
Si → 공기	4.08	1.00	14.2°	1.5%	에어갭 DTI(이론상 최강)
SiN → SiO₂ (광파이프)	2.05	1.46	45.3°	14.9%	FSI 광파이프 코어/클래딩
컬러 필터 → 저굴절 그리드	1.62	1.25	50.3°	18.1%	CF 사이 저굴절 격벽(14장)
ML 수지 → 공기	1.61	1.00	38.5°	10.9%	센서 표면 반사광이 다시 갇힘
SiO₂ → 공기	1.46	1.00	43.2°	13.6%	커버 유리, 광섬유 끝면

SIMULATOR

임계각 근처의 반사율: 굴절 광선이 사라지는 순간

입사각 θ₁

경계면

파장 λ₀

임계각 θ_c—

R_s—

R_p—

굴절각 θ₂—

탈출 원뿔 비율—

해볼 것: ① Si/SiO₂에서 θ₁을 20° → 21°로 넘기는 순간 반사율이 급격히 1로 뛴다. 임계각 바로 아래에서도 반사율이 이미 크다는 점에 주목. ② p편광은 임계각 아래에서 반사율 0이 되는 브루스터각을 가진다(10장). ③ "공기→SiO₂"(밀한 매질로 들어감)에서는 임계각이 없다. 반사율은 스침 입사에서만 1에 가까워진다. ④ 파장을 900 nm로 바꾸면 Si 굴절률이 3.63으로 내려가 임계각이 23.6°로 약간 커진다. 곡선은 OPT.fresnel로 계산한 $|r|^2$이다.

프리즘 분산과 아베수

꼭지각 $A$인 프리즘에 광선이 입사각 $\theta_1$로 들어가면, 두 면에서 굴절한 뒤 원래 방향에서 $\delta$만큼 꺾여 나온다. 두 면의 내부 굴절각 합은 꼭지각과 같다($\theta_1' + \theta_2 = A$). 편향각은 입사각에 따라 변하는데, 광선이 프리즘 안에서 밑면과 평행하게 대칭으로 지날 때 최소가 된다.

$$\delta = \theta_1 + \theta_2' - A,\qquad n = \frac{\sin\frac{A+\delta_{\min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}},\qquad \delta \approx (n-1)A\;\;(\text{얇은 프리즘})$$

$\theta_1$: 첫 면 입사각, $\theta_2'$: 둘째 면 출사각(모두 각 면의 법선 기준). 최소 편향각 $\delta_{\min}$ 측정은 굴절률을 $10^{-5}$ 정밀도로 재는 고전적 방법이다. 얇은 프리즘 근사에서 파장별 편향 차이는 $\Delta\delta \approx \Delta n\,A$.

재료의 분산 크기는 아베수(Abbe Number)로 표시한다. 기준 파장은 프라운호퍼 선 d(587.6 nm, 헬륨), F(486.1 nm, 수소), C(656.3 nm, 수소)다.

$$V_d = \frac{n_d - 1}{n_F - n_C}$$

$V_d$가 클수록 분산이 작다. $V_d > 50$이면 크라운(Crown), $V_d < 50$이면 플린트(Flint) 계열로 부른다. 얇은 렌즈의 축상 색수차(F선과 C선 초점 차)는 $\Delta f' \approx f'/V_d$이므로, $V_d=56$, $f'=5$ mm면 약 89 µm — F/1.8 렌즈 초점 심도(±수 µm)보다 훨씬 크다. 그래서 단렌즈로는 컬러 카메라를 만들 수 없다.

그림 2-5. 프리즘의 편향각 δ와 분산. 같은 프리즘이라도 굴절률이 큰 청색광이 더 크게 꺾여 무지개 색이 펼쳐진다. 분산의 크기는 $n_F - n_C$, 편향의 크기는 $n_d - 1$에 비례하므로 둘의 비가 아베수다.

SIMULATOR

프리즘 분산: 재료별 무지개 폭과 아베수

꼭지각 A 입사각 θ₁

재료

n_d—

아베수 V_d—

편향각 δ (d선)—

최소 편향 δ_min—

색 퍼짐 δ_F−δ_C—

해볼 것: ① BK7 60° 프리즘에서 입사각을 바꾸며 편향각이 최소가 되는 지점을 찾고, 버튼으로 확인. ② 같은 조건에서 PC 수지·F2·TiO₂로 바꾸면 무지개 폭이 2~5배 넓어진다(아베수가 작다). ③ 입사각을 줄이면 둘째 면에서 전반사가 일어나 일부 파장(먼저 청색)이 사라진다. 광선은 400~700 nm 31개 파장을 벡터 스넬 식으로 정확히 추적했다.

재료	n_d	V_d	쓰임
용융 실리카 (SiO₂)	1.4585	67.8	UV 광학, 센서 커버 유리 계열, 픽셀 산화막
BK7 (보로실리케이트 크라운)	1.5168	64.2	표준 광학 유리, IR 컷 필터 기판
COC/COP 수지 (APEL·ZEONEX 계열)	1.53~1.54	55~56	모바일 렌즈의 "크라운" 역할(양 렌즈)
폴리카보네이트·OKP 계열 수지	1.59~1.66	20~30	모바일 렌즈의 "플린트" 역할(음 렌즈, 색수차 보정)
F2 플린트 유리	1.620	36.4	색지움 렌즈의 음 렌즈
마이크로렌즈 수지 (이 책 모델)	1.60	~40	온칩 렌즈, 평탄화막
Si₃N₄	2.05	~34	광파이프, 반사 방지막, 무기 마이크로렌즈
TiO₂	2.42	~12	메타표면·고굴절 나노 구조

실무 노트 — 모바일 렌즈가 두 종류 수지를 번갈아 쓰는 이유

모바일 카메라 렌즈 5~7매는 거의 모두 사출 성형 플라스틱이다. 쓸 수 있는 광학 수지는 사실상 $V_d \approx 56$인 COC/COP 계열과 $V_d \approx 20\sim30$인 고분산 계열 두 가지뿐이어서, 양 렌즈에는 저분산 수지를, 음 렌즈에는 고분산 수지를 배치해 색수차를 상쇄한다(색지움 조건 $\Phi_1/V_1 + \Phi_2/V_2 = 0$, 4장). 남은 2차 스펙트럼과 배율 색수차는 센서 쪽에서 R/B 채널의 상 크기·위치 차이로 나타나고, ISP의 측면 색수차(Lateral CA) 보정 대상이 된다. 픽셀이 작아질수록 같은 색수차가 더 많은 픽셀에 걸친다.

구면에서의 굴절과 근축 근사

렌즈 면은 대부분 구면(또는 구면에 가까운 비구면)이다. 반경 $R$인 구면 경계(왼쪽 $n$, 오른쪽 $n'$)에 광축과 평행하게 높이 $h$로 들어온 광선을 생각하자. 입사점에서의 법선은 곡률 중심을 향하므로, 입사각은 $\sin\theta = h/R$이다. 스넬의 법칙 $n\sin\theta = n'\sin\theta'$를 정확히 풀면 광선이 광축과 만나는 위치는 $h$에 따라 달라진다 — 이것이 구면 수차(Spherical Aberration)다.

모든 각이 작다고 가정하고 $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$, $\cos\theta\approx 1$로 두면(근축 근사(Paraxial Approximation)), 높이와 무관한 깔끔한 결상식이 나온다.

$$\frac{n'}{s'} - \frac{n}{s} = \frac{n'-n}{R} \equiv \Phi,\qquad f' = \frac{n'R}{n'-n},\qquad f = -\frac{nR}{n'-n}$$

데카르트 부호 규약(빛은 왼→오, 거리는 면 꼭짓점 기준 오른쪽 +, 곡률 중심이 오른쪽이면 $R > 0$). $s$: 물체 거리(실물체는 음수), $s'$: 상 거리. $\Phi$: 면의 굴절력. 평행광($s\to-\infty$)은 $s' = f'$에 모인다. 예: $R=10$ mm, $n=1\to n'=1.5$이면 $f' = 30$ mm.

그림 2-6. 구면에서의 굴절. 입사 높이 h가 클수록 입사각 θ가 커지고, 정확한 스넬 법칙을 따른 광선은 근축 초점 F′보다 면에 더 가까운 곳에서 광축을 지난다(양의 구면 수차, 과소 보정).

각도 θ	θ (rad)	sin θ	(θ − sin θ)/sin θ	(tan θ − θ)/θ	센서 쪽 예
5°	0.0873	0.0872	0.13%	0.25%	F/5.6 렌즈 주변 광선
10°	0.1745	0.1736	0.51%	1.0%	CRA 10° (구형 센서)
16°	0.2793	0.2756	1.3%	2.7%	F/1.8 주변 광선 (sin u′ = 0.28)
20°	0.3491	0.3420	2.1%	4.3%	F/1.4 주변 광선 (19.5°)
30°	0.5236	0.5000	4.7%	10.3%	모바일 CRA 30°
38°	0.6632	0.6157	7.7%	17.8%	초박형 렌즈 최대 CRA

표에서 보듯 F/1.4~1.8의 밝은 모바일 렌즈와 CRA 30° 이상의 주광선은 근축 영역을 한참 벗어난다. 그래서 렌즈 설계는 반드시 실제 광선 추적(4장)으로 하고, 근축 식은 초기 배치와 1차 값(초점거리, 동공 위치, 배율) 계산에만 쓴다. 센서 쪽에서도 "CRA 30°를 근축으로 0.52 rad로 계산"하면 Si 속 각도나 마이크로렌즈 이동량을 10% 가까이 틀린다.

SIMULATOR

구면 한 면의 정확한 광선 추적 vs 근축 근사

굴절률 n′ 최대 입사 높이 h/R 광선 수

근축 초점 f′—

주변 광선 교점—

종구면수차 LSA—

주변 광선 입사각—

근축 각 오차 (θ−sinθ)/sinθ—

해볼 것: ① h/R = 0.1에서는 모든 광선이 근축 초점(초록 점) 근처에 모인다. 0.5 이상에서는 바깥 광선이 훨씬 앞에서 광축을 지나 코스틱(Caustic)이 보인다. ② 아래 그래프(입사 높이 vs 축 교점)는 h²에 비례해 휘어진다 — 3차 구면 수차의 특징이다(4장). ③ n′을 4.08(Si)로 바꾸면 같은 h/R에서 수차가 크게 줄어든다: 굴절률이 높을수록 같은 굴절력을 얻는 데 필요한 곡률이 작아져 각도가 작아지기 때문이다. 길이는 R = 10 단위.

광선 전달 행렬(ABCD)

근축 영역에서 광선은 기준면에서의 높이 $y$와 환산 각도(Reduced Angle) $nu$(굴절률 × 기울기 $u = dy/dz$) 두 숫자로 완전히 기술된다. 근축 굴절과 전파는 모두 이 두 숫자의 선형 변환이므로 2×2 행렬로 쓸 수 있다. 광학계 전체는 행렬들의 곱이 된다. 이것이 광선 전달 행렬(Ray Transfer Matrix, ABCD Matrix)이다.

$$\begin{pmatrix} y_2 \\ n_2u_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ n_1u_1 \end{pmatrix},\qquad \mathbf T(d) = \begin{pmatrix} 1 & d/n \\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad \mathbf R(\Phi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\Phi & 1\end{pmatrix}$$

$\mathbf T$: 굴절률 $n$인 매질에서 거리 $d$ 전파(높이가 $d\,u$만큼 변함). $\mathbf R$: 굴절력 $\Phi$인 면 또는 얇은 렌즈에서의 굴절(높이는 그대로, 각도만 꺾임). 구면이면 $\Phi = (n'-n)/R$, 공기 중 얇은 렌즈면 $\Phi = 1/f'$, 거울은 "펼친" 좌표에서 $\Phi = -2n/R$(오목 거울은 $R<0$이라 $\Phi>0$). 광선은 왼쪽부터 지나지만 행렬은 오른쪽부터 곱한다: $\mathbf M = \mathbf M_N\cdots\mathbf M_2\mathbf M_1$. 환산 각도를 쓰면 항상 $\det\mathbf M = AD - BC = 1$이다.

시스템 행렬의 각 원소에는 물리적 의미가 있다.

$C = -\Phi$: 시스템 굴절력. 유효 초점거리 $f' = -1/C$(양쪽이 공기일 때).
$B = 0$: 입력면과 출력면이 결상 관계(켤레). 입력면의 한 점에서 나온 광선이 각도와 무관하게 출력면의 한 점에 모인다. 이때 $A$가 횡배율 $m$, $D = 1/m$이다.
$A = 0$: 입력 평행광이 출력면에 모인다 — 출력면이 상측 초점면.
$D = 0$: 입력면의 한 점에서 나온 빛이 평행광으로 나간다 — 입력면이 물측 초점면.

그림 2-7. 입력면에서 광선 벡터 $(y_1, u_1)$이 전파(T), 렌즈 굴절(R), 다시 전파(T)를 거쳐 출력면에서 $(y_2, u_2)$가 된다. 시스템 행렬은 광선이 지나는 순서의 역순으로 곱한다. $d_1 = -s$, $d_2 = s'$로 두고 $B = 0$을 풀면 얇은 렌즈 공식이 나온다.

예를 들어 얇은 렌즈 앞 $d_1$, 뒤 $d_2$를 묶으면 $\mathbf M = \mathbf T(d_2)\mathbf R(1/f')\mathbf T(d_1)$이고, $B = d_1 + d_2 - d_1 d_2/f' = 0$에서 $1/d_2 + 1/d_1 = 1/f'$, 즉 $1/s' - 1/s = 1/f'$($s = -d_1$)이다. 두 렌즈, 두꺼운 렌즈, 평판 유리, 마이크로렌즈+광학 스택까지 모두 같은 방식으로 다룬다. 이 행렬은 3장에서 주요점·동공을 계산하는 기본 도구가 되고, 가우시안 빔의 복소 빔 파라미터 $q$에도 그대로 쓰인다($q_2 = (Aq_1+B)/(Cq_1+D)$, 6장).

SIMULATOR

ABCD 광선 추적기: 얇은 렌즈 1~3매

렌즈 수

물체

물체 거리 f₁ f₂ f₃ 간격 d₁₂ / d₂₃

렌즈계 행렬 [A B; C D]—

유효 초점거리 −1/C—

상 위치 (마지막 렌즈 뒤)—

횡배율 m—

det M—

해볼 것: ① 렌즈 1매, 물체 80 mm, f₁ = 40 mm: 상이 80 mm 뒤에 배율 −1로 맺힌다(2f–2f 결상). ② 2매에서 f₂를 음수로 두면 망원형이 되어 유효 초점거리가 렌즈 간격보다 훨씬 길어진다. ③ 무한원 물체 모드에서 광선 다발 세 개(시야각 0°, ±)가 상측 초점면에 모이는 위치가 상 높이 $f'\tan\theta$다. ④ 어떤 설정에서도 det M = 1인 것을 확인 — 에텐듀(라그랑주 불변량) 보존의 행렬 표현이다(3장). 길이 단위 mm, 얇은 렌즈 근축 추적.

얇은 렌즈와 거울의 결상

두께를 무시할 수 있는 렌즈의 굴절력은 두 면의 굴절력의 합이다(렌즈 제작자 공식(Lensmaker's Equation)). 공기 중 결상은 가우스 식 하나로 정리된다.

$$\frac{1}{f'} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right),\qquad \frac{1}{s'}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f'},\qquad m = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s}$$

$R_1, R_2$: 앞·뒷면 곡률 반경(부호 규약 동일), $s < 0$: 실물체, $s' > 0$: 실상(렌즈 오른쪽), $s' < 0$: 허상. 오목 거울은 $f' = |R|/2$인 양 렌즈와 같고(펼친 좌표), 볼록 거울은 음 렌즈와 같다. 평면 거울은 $R\to\infty$, $m = +1$인 허상을 만든다.

작도는 세 개의 대표 광선으로 한다. ① 광축에 평행하게 들어와 상측 초점 F′을 지나는 광선, ② 렌즈 중심을 꺾이지 않고 지나는 광선, ③ 물측 초점 F를 지나 들어와 평행하게 나가는 광선. 세 광선이 실제로 만나면 실상, 연장선이 만나면 허상이다.

그림 2-8. 얇은 양 렌즈의 세 대표 광선. 물체가 2f′에 있으면 같은 크기의 거꾸로 선 실상이 반대편 2f′에 맺힌다. 카메라에서는 물체가 수십 f′ 이상 멀리 있어 상이 거의 F′ 위(센서면)에 맺히고, 배율은 $m\approx f'/s$로 매우 작다.

SIMULATOR

얇은 렌즈·거울 결상: 세 대표 광선 작도

소자

초점거리 f′ 물체 거리 |s| 물체 높이

상 거리 s′—

횡배율 m—

상의 종류—

굴절력 Φ—

해볼 것: ① 양 렌즈에서 물체를 F 안쪽(|s| < f′)으로 옮기면 상이 정립 허상(돋보기)으로 바뀐다. ② f′을 음수로 두면 어디에 두든 축소된 정립 허상. ③ 거울 모드: 오목 거울(f′ > 0)의 실상은 거울 앞에 맺힌다. 거울은 "펼친" 좌표에서 렌즈와 같은 식을 쓰고 그림만 접었다. ④ |s|를 200 mm로 두고 f′ = 5 mm 근처를 상상해 보자: s′ − f′ = f′²/(|s|−f′) ≈ 0.13 mm — 카메라 AF 행정이 작은 이유다. 단위 mm.

심화 — 반사를 굴절로 보는 법

반사 법칙 $\theta_r = \theta_1$은 스넬의 법칙에 $n_2 = -n_1$을 넣은 것과 같다. 그래서 광선 추적 프로그램은 거울을 "굴절률 부호가 바뀌는 면"으로 처리한다. 구면 굴절력 $\Phi = (n'-n)/R$에 $n' = -n$을 넣으면 $\Phi = -2n/R$, 공기 중 오목 거울($R < 0$)의 초점거리 $f' = |R|/2$가 나온다. 반사는 파장과 무관하므로(굴절률 차이가 아니라 부호만 바뀜) 거울에는 색수차가 없다. 픽셀에서도 BSI 실리콘 뒤쪽(배선층)의 금속 반사판이 NIR 광을 되돌려 광경로를 두 배로 만드는 설계가 쓰인다(14장).

픽셀 스택 속 광선: 왜 실리콘 안의 각도는 작은가

이제 기하광학 도구로 센서 표면을 내려가 보자. BSI 픽셀의 광학 스택은 위에서부터 공기 → 마이크로렌즈(ML, n≈1.6) → 평탄화막 → 컬러 필터(CF, n≈1.6~1.7) → 산화막/반사 방지막(SiO₂ 1.46, HfO₂·Ta₂O₅ 박막) → 실리콘(n≈3.6~4.7)이다. 마이크로렌즈 곡면을 빼면 모든 경계면은 평평하고 서로 평행하다. 평행한 경계면만 지나는 광선에서는 스넬의 법칙이 연쇄적으로 적용되어 한 양이 보존된다.

$$n_0\sin\theta_0 = n_1\sin\theta_1 = \cdots = n_{\text{Si}}\sin\theta_{\text{Si}} \;\;\Longrightarrow\;\; \sin\theta_{\text{Si}} = \frac{\sin\theta_0}{n_{\text{Si}}} \le \frac{1}{n_{\text{Si}}}$$

$\theta_0$: 공기 중 입사각(예: CRA). 중간 층의 굴절률은 최종 각도에 영향을 주지 않는다(평판 층은 광선을 옆으로 이동만 시킨다). 공기에서 아무리 비스듬히 들어와도 Si 속 각도는 $\arcsin(1/4.08) = 14.2°$(550 nm)를 넘지 못한다. CRA 30°이면 Si 속에서는 7.0°에 불과하다.

이 사실에서 중요한 결론 몇 가지가 나온다.

각도 문제는 실리콘 위에서 일어난다. CRA 30°는 SiO₂에서 20°, CF에서 18°로 남아, 1~3 µm 두께의 스택을 지나는 동안 수백 nm 옆으로 이동한다. 실리콘에 닿는 위치가 이미 이웃 픽셀 쪽으로 밀려 있는 것이 광학 크로스토크와 CRA 음영의 주원인이다. 그래서 마이크로렌즈를 화면 주변으로 갈수록 광축 쪽으로 옮기는 ML 시프트를 한다(12장, 13장).
실리콘 안에서는 거의 수직이다. Si 속 7°는 3 µm 깊이를 내려가도 옆으로 0.37 µm만 움직인다. 이 작은 각도는 DTI 측벽 기준으로는 83°의 스침 입사이므로, Si/SiO₂ 임계각 21°를 훨씬 넘어 전반사된다. DTI가 광학적으로 효과적인 이유다.
마이크로렌즈만이 각도를 "만든다". 곡면에서의 굴절은 $n\sin\theta$ 보존을 깨고 광선을 모은다. 하지만 그렇게 만든 각도도 결국 Si에 들어가면서 $1/n_\text{Si}$배로 줄어든다. 즉 초점은 Si 안에서 길게 늘어난다(초점 심도가 $n$배).

그림 2-9. BSI 픽셀 스택을 지나는 광선(마이크로렌즈 곡면 효과 제외, 평판 층 각도). $n\sin\theta = \sin 30° = 0.5$가 모든 층에서 보존되어, 저굴절 층에서는 각도가 크고 Si 안에서는 7°로 거의 수직이 된다. 옆으로의 이동은 대부분 실리콘 위 1~2 µm 구간에서 생긴다.

SIMULATOR

픽셀 스택 광선 추적: 마이크로렌즈 → CF → 산화막 → Si

입사각 (CRA) 픽셀 피치 ML 높이 ML 시프트 파장 DTI (SiO₂ 충전)

CF 속 각도—

SiO₂ 속 각도—

Si 속 각도—

Si 표면 광선 중심 이동—

자기 픽셀 도달 (Si 표면 / 3 µm 깊이)—

해볼 것: ① CRA 0°에서 ML 높이를 조절해 초점을 Si 표면 근처에 맞춰 보자. ② CRA를 30°로 키우면 광선 다발 전체가 오른쪽 픽셀로 밀린다. readout의 각도는 평판 층 기준 $n\sin\theta$ 보존값이다 — Si 속 각도는 아무리 키워도 14° 이하. ③ ML 시프트를 키워 광선 중심 이동을 0 근처로 되돌려 보자. 대략 $\sum t_i\tan\theta_i$(스택 두께 × 각도)만큼이 필요하다. ④ DTI를 끄면 Si 속에서 이웃 픽셀로 넘어가는 광선이 생기고, 켜면 측벽에서 전반사되어 돌아온다. 스택: ML(수지) → 평탄화 0.2 µm → CF 0.6 µm → SiO₂ 0.25 µm → Si. 기하광학 근사이므로 1 µm 이하 피치에서는 경향만 보라.

실무 노트 — 스택 높이를 줄이는 것이 왜 최우선인가

ML 정점에서 Si 표면까지의 광학 스택 높이 $H$가 1.5 µm이고 평균 층 굴절률이 1.55라면, CRA 30°의 광선은 Si에 도착하기까지 $H\tan(\arcsin(0.5/1.55)) \approx 1.5\times 0.34 = 0.51$ µm 옆으로 이동한다. 1.0 µm 픽셀에서는 피치의 절반이다. ML 시프트로 이 이동을 보정할 수 있지만, 시프트는 CRA 한 값(보통 렌즈의 설계 CRA 곡선)에 맞추므로 렌즈 교체·줌·OIS로 CRA가 바뀌면 다시 어긋난다. 그래서 세대가 바뀔 때마다 CF를 얇게(0.6 → 0.4 µm), 평탄화막을 없애고, 금속 그리드를 저굴절 그리드로 바꾸며 $H$를 줄여 왔다. "스택 높이 × tan(층 속 각도)"는 픽셀 광학 엔지니어가 가장 먼저 계산하는 숫자다.

광파이프와 도파로의 광선 그림

고굴절 코어($n_1$)를 저굴절 클래딩($n_2$)이 감싸면, 코어 측벽에 임계각보다 비스듬히 닿는 광선은 전반사를 반복하며 손실 없이 전파된다. 광섬유, FSI 센서의 광파이프(Light Pipe / Light Guide), BSI 픽셀의 DTI로 둘러싸인 실리콘 기둥이 모두 이 구조다. 입사면에서 받아들일 수 있는 최대 각도가 개구수(Numerical Aperture, NA)다.

$$n_0\sin\theta_{\max} = \text{NA} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$

$n_0$: 입사 쪽 매질 굴절률. 측벽 입사각 $\phi = 90° - \theta_1 \ge \theta_c$ 조건과 스넬의 법칙 $n_0\sin\theta_0 = n_1\sin\theta_1$에서 나온다. NA ≥ $n_0$이면 모든 입사각이 갇힌다. Si/SiO₂: $\sqrt{4.08^2-1.46^2} = 3.81$ — 위에서 들어오는 어떤 광선도 DTI 벽에서 전반사된다(기하광학적으로). SiN/SiO₂: 1.44, 광섬유(1.4655/1.46): 0.13.

그림 2-10. 광파이프의 광선 그림. 입사 원뿔(반각 θmax) 안으로 들어온 광선은 측벽 입사각 φ가 임계각보다 커서 전반사로 갇히고, 그보다 비스듬한 광선은 매 반사마다 일부가 클래딩으로 빠져나간다.

SIMULATOR

광파이프·DTI 속 광선: 전반사로 갇히는 조건

구조

입사각 θ₀ (입사 매질) 코어 폭 w 길이 L

NA = √(n₁²−n₂²)—

수용각 θ_max—

측벽 입사각 φ / θ_c—

반사 횟수—

출구 도달 광량—

해볼 것: ① Si/DTI(입사 매질 SiO₂): 입사각을 89°까지 올려도 광선이 갇힌다 — Si 속 각도가 최대 21°라 측벽 입사각이 69° 이상이기 때문. ② SiN 광파이프(입사 매질 CF n≈1.6)는 θ₀가 약 64°를 넘으면 매 반사마다 빛이 샌다. ③ CF/저굴절 격벽은 NA ≈ 1.03로 CF 내부 각도 기준 약 40°까지 가둔다. ④ 광섬유는 NA 0.13 — 수용각이 7.3°에 불과하다. 새는 경우 매 반사의 손실은 프레넬 반사율(비편광)로 계산했다. 길이 단위 µm(광섬유는 상대 단위). 그림은 가로로 눕혀 그렸다.

여기서도 1절의 경고를 기억해야 한다. 폭 1 µm의 실리콘 기둥 속 파장은 135~200 nm이므로 광선 그림이 어느 정도 맞지만, 폭 0.6 µm의 CF 격벽 사이나 SiN 광파이프(코어 속 파장 ~270 nm, 폭 ~0.5 µm)에서는 단 몇 개의 도파 모드만 존재한다. 이때 "전반사로 갇힌다"는 그림은 "모드가 코어에 국한된다"로 바뀌고, 모드의 소산파 꼬리가 얇은 클래딩 너머 이웃 픽셀로 결합하는 현상(광학 크로스토크의 한 경로)이 생긴다. 이 파동적 효과는 10장의 FTIR과 14장의 DTI 도파 해석에서 다룬다.

정리 — 픽셀 개발자의 기하광학 체크리스트

① 이 구조는 파장보다 충분히 큰가($a/\lambda_m$, $N_F$)? ② 평판 층에서는 $n\sin\theta$ 보존으로 각도를, $t\tan\theta$로 옆 이동을 계산한다. ③ 고→저 굴절률 경계에서는 임계각을 확인한다(DTI 21°, CF/저굴절 50°, ML/공기 39°). ④ 렌즈·마이크로렌즈의 1차 값은 ABCD 행렬로, 수차와 큰 각도는 실제 광선 추적으로. ⑤ 분산($V_d$)을 잊지 말 것 — R/G/B는 다른 각도로 꺾이고 다른 곳에 초점을 맺는다.

핵심 정리

광선은 등위상면의 법선이며, 구조 크기가 매질 속 파장보다 충분히 크고($a/\lambda_m \gg 1$) 프레넬 수 $N_F = (a/2)^2/(\lambda_m z) \gg 1$일 때 기하광학이 성립한다. 서브마이크론 픽셀 내부에서는 정성적 직관으로만 쓴다.
페르마 원리: 실제 광선의 광경로 $\int n\,ds$는 정류값을 가진다. 여기서 반사·굴절 법칙이 나오고, 결상은 "모든 경로의 OPL이 같음"을 뜻한다.
스넬의 법칙 $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$는 경계면 접선 방향 파수의 보존이다. 굴절률의 파장 의존성 때문에 청색이 더 많이 꺾인다.
$n_1 > n_2$이면 $\sin\theta_c = n_2/n_1$ 이상에서 전반사가 일어난다. Si/SiO₂ 21°, SiN/SiO₂ 45°, CF/저굴절 50°, ML/공기 39°.
프리즘 편향 $\delta \approx (n-1)A$, 최소 편향에서 $n = \sin\frac{A+\delta_\min}{2}/\sin\frac A2$. 아베수 $V_d = (n_d-1)/(n_F-n_C)$가 작을수록 분산이 크며, 모바일 렌즈는 $V_d\approx56$과 $20\sim30$ 수지를 조합해 색수차를 보정한다.
구면 굴절의 근축식 $n'/s' - n/s = (n'-n)/R$. 각도 20°에서 $\sin\theta\approx\theta$ 오차 2%, 30°에서 5%(탄젠트는 10%)로, F/1.4~1.8 광선이나 CRA 30°는 근축 영역 밖이다.
ABCD 행렬 $(y, nu)$: 전파 $\begin{pmatrix}1&d/n\\0&1\end{pmatrix}$, 굴절 $\begin{pmatrix}1&0\\-\Phi&1\end{pmatrix}$. $C=-\Phi$, $B=0$이면 결상(배율 $A$), $\det=1$.
얇은 렌즈 $1/s'-1/s=1/f'$, 렌즈 제작자 공식 $1/f'=(n-1)(1/R_1-1/R_2)$, 거울은 $\Phi=-2n/R$인 렌즈로 취급한다.
평행한 평판 층에서는 $n\sin\theta$가 보존되므로 Si 속 각도는 $\arcsin(\sin\theta_0/n_\text{Si}) \le 14°$로 작다. 크로스토크를 만드는 옆 이동은 실리콘 위 스택(높이 × tan 각도)에서 생기므로 스택 높이 감소와 ML 시프트가 핵심 대책이다.
광파이프의 NA는 $\sqrt{n_1^2-n_2^2}$. Si/SiO₂ DTI는 NA ≈ 3.8로 기하광학적으로는 모든 광선을 가두지만, 실제 픽셀 크기에서는 도파 모드와 소산파 결합을 고려해야 한다.

확인 퀴즈

Q1. 폭 1 µm 개구 뒤 2 µm 떨어진 면(공기, λ = 550 nm)에서의 프레넬 수와 그 의미로 옳은 것은?

$N_F = (0.5)^2/(0.55\times2) = 0.23$. 1보다 작으므로 빛은 개구 크기보다 넓게 퍼진다(퍼짐 $\lambda z/a \approx 1.1$ µm). 같은 개구가 Si 안에 있다면 λ_m = 135 nm라 N_F ≈ 0.93로 커진다.

Q2. 페르마 원리에 대한 설명으로 가장 정확한 것은?

대부분 최솟값이지만 정확한 조건은 정류다. 타원 거울의 두 초점 사이 경로처럼 모든 경로의 OPL이 같거나, 최댓값인 경우도 있다. 기하학적 최단 거리(직선)는 굴절률이 다른 매질을 지날 때 실제 경로가 아니다.

Q3. CRA 30°로 공기에서 들어온 광선이 ML(1.6) → CF(1.62) → SiO₂(1.46) → Si(4.08) 평판 스택을 지날 때 Si 속 각도는? (ML 곡면 효과 무시)

평행 평판 층에서는 $n\sin\theta$가 보존되므로 중간 층과 무관하게 $\sin\theta_\text{Si} = 0.5/4.08$, $\theta_\text{Si} = 7.0°$. 중간 층은 옆으로의 이동량만 바꾼다.

Q4. Si(4.08)와 SiO₂(1.46) 경계의 임계각과, Si 안에서 등방적으로 산란된 빛 중 한 평면 경계를 통해 빠져나갈 수 있는 비율은?

$\sin\theta_c = 1.46/4.08 = 0.358$ → 21.0°. 탈출 원뿔 비율 $(1-\cos21°)/2 = 0.033$. 14°/1.5%는 Si/공기, 43°/13.6%는 SiO₂/공기의 값이다.

Q5. 아베수 V_d = 56인 수지로 만든 f′ = 5 mm 단렌즈의 F선과 C선 초점 위치 차이는 대략?

얇은 렌즈의 축상 색수차 $\Delta f' \approx f'/V_d = 5/56 = 0.089$ mm ≈ 89 µm. F/1.8 렌즈의 초점 심도(수 µm)보다 훨씬 커서, 고분산 수지 음 렌즈를 조합해 보정해야 한다.

Q6. 근축 근사에서 sin θ ≈ θ의 상대 오차가 약 5%가 되는 각도는?

θ = 30° = 0.5236 rad, sin θ = 0.5 → 4.7%. (θ − sin θ)/sin θ ≈ θ²/6 이므로 θ ≈ 0.55 rad에서 5%가 된다. 모바일 렌즈의 CRA 30° 이상이나 F/1.4 주변 광선(약 20°)은 근축 범위 밖이다.

Q7. ABCD 시스템 행렬에서 B = 0이 의미하는 것은?

$y_2 = A y_1 + B\,n_1u_1$에서 B = 0이면 출력 높이가 입력 각도와 무관 — 한 물점의 모든 광선이 한 상점에 모인다. 굴절력 0은 C = 0, 상측 초점면은 A = 0이다. det M = 1은 항상 유지된다.

Q8. f′ = 40 mm 양 렌즈 앞 25 mm에 물체가 있다. 상의 위치와 종류는?

$1/s' = 1/f' + 1/s = 1/40 - 1/25 = -0.015$ → $s' = -66.7$ mm(렌즈 왼쪽, 허상). $m = s'/s = -66.7/-25 = +2.67$, 정립 확대 — 돋보기 상태다.

Q9. 광학 스택(ML 정점~Si 표면) 높이 1.5 µm, 평균 굴절률 1.55인 픽셀에 CRA 30° 광선이 들어올 때 Si 표면에서의 옆 이동량에 가장 가까운 것은? (ML 굴절 무시)

층 속 각도 $\arcsin(0.5/1.55) = 18.8°$, $1.5\times\tan18.8° = 0.51$ µm. 공기 중 각도로 계산하면(1.5 × tan30° = 0.87 µm) 과대평가한다. 1 µm 픽셀에서 피치의 절반이므로 ML 시프트와 스택 높이 감소가 필요하다.

Q10. SiN(2.05) 코어, SiO₂(1.46) 클래딩 광파이프의 NA와, 공기에서 들어오는 빛에 대한 의미는?

$\sqrt{2.05^2-1.46^2} = \sqrt{4.20-2.13} = 1.44$. $n_0\sin\theta_{\max} = 1.44$는 $n_0 = 1$에서 해가 없으므로 모든 입사각이 갇힌다. 입사 매질이 CF(1.6)면 $\sin\theta_\max = 0.90$, 약 64°까지다. NA는 굴절률 차이로만 정해진다(광선 근사에서).