Chapter 10

경계면: 프레넬 방정식

이미지 센서에 도달한 빛은 수십 개의 경계면을 지난다. 렌즈 표면, IR 컷 필터, 마이크로렌즈, 컬러 필터, 산화막, 그리고 마지막으로 굴절률 4에 가까운 실리콘. 경계면마다 빛의 일부가 반사되고, 그 비율은 편광과 입사각에 따라 달라진다. 이 장에서는 맥스웰 방정식의 경계 조건에서 프레넬 방정식을 유도한다. 그리고 그 결과로 브루스터 각, 전반사와 소산파, 좌절된 전반사(DTI와 저굴절 그리드의 빛 가둠), 금속 그리드의 반사, 실리콘 표면에서 잃는 35%를 하나씩 계산한다. 다음 장(11장)의 박막 광학은 모두 이 장의 결과 위에 쌓인다.

접선 방향 전기장·자기장의 연속 조건에서 반사·굴절 법칙(위상 정합)과 s/p 프레넬 계수를 유도한다.
진폭 계수 $r, t$와 파워 계수 $R, T$를 구분하고, 빔 단면적 인자를 넣어 $R+T=1$을 확인한다.
브루스터 각과 임계각을 계산하고, 전반사의 위상 변화, 소산파 침투 깊이, 굿-헨센 이동을 이해한다.
얇은 저굴절 틈으로 빛이 새는 좌절된 전반사(FTIR)를 TMM으로 계산하고, DTI·저굴절 그리드 설계와 연결한다.
복소 굴절률 매질(Si, Al, W)의 반사율을 구하고, 실리콘 표면 반사와 렌즈 스택의 프레넬 손실이 감도와 고스트에 주는 영향을 정량화한다.

경계 조건과 위상 정합

굴절률이 다른 두 매질이 평면에서 만나는 상황을 생각하자. 경계면을 $z=0$, 매질 1($\tilde n_1$)이 위($z<0$), 매질 2($\tilde n_2$)가 아래($z>0$)에 있다. 1장에서 본 평면파가 매질 1에서 입사하면, 경계면에서 반사파와 투과파가 생긴다. 세 파동의 진폭과 방향을 결정하는 것은 전자기학의 경계 조건(Boundary Conditions)이다. 맥스웰 방정식의 적분형을 경계면을 가로지르는 얇은 상자와 고리에 적용하면 다음을 얻는다(표면 전하·전류가 없는 유전체 경계).

$$\hat{\mathbf z}\times(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=0,\qquad \hat{\mathbf z}\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1)=0,\qquad \hat{\mathbf z}\cdot(\mathbf D_2-\mathbf D_1)=0,\qquad \hat{\mathbf z}\cdot(\mathbf B_2-\mathbf B_1)=0$$

$\mathbf E_1$은 경계 바로 위의 전체 전기장(입사 + 반사), $\mathbf E_2$는 경계 바로 아래의 투과 전기장이다. 첫 두 식은 접선 성분의 연속, 뒤의 두 식은 법선 성분의 연속이다. 광학 주파수에서 $\mu\approx\mu_0$이므로 $\mathbf H$의 접선 연속은 $\mathbf B$의 접선 연속과 같다. 균일한 평면파에서는 접선 조건 둘만으로 충분하다(법선 조건은 자동으로 만족된다).

이 조건은 경계면 위의 모든 점 $x$에서, 모든 시각 $t$에 성립해야 한다. 세 파동이 $e^{i(k_x x-\omega t)}$ 꼴의 인자를 가지므로, 모든 $x$에서 식이 맞으려면 세 파동의 $k_x$가 같아야 한다. 이것을 위상 정합(Phase Matching)이라 한다.

$$k_x^{(i)}=k_x^{(r)}=k_x^{(t)}\;\;\Longrightarrow\;\; \theta_r=\theta_i,\qquad \tilde n_1\sin\theta_i=\tilde n_2\sin\theta_t\equiv\beta$$

$k_x = k_0\,n\sin\theta$, $k_0 = 2\pi/\lambda_0$. 반사 법칙과 스넬 법칙(2장)이 경계 조건에서 바로 나온다. 보존되는 접선 성분 $\beta=n\sin\theta$는 다층 박막 전체에서 일정하며 OPT.tmm도 이 값을 기준으로 각 층의 $\cos\theta$를 정한다. 수직 성분은 $k_z = k_0\sqrt{\tilde n^2-\beta^2}=k_0\tilde n\cos\theta$.

$k_z$는 위상 정합의 결과로 정해지는 양이다. $\tilde n_2^2-\beta^2$가 음수가 되면 $k_z$는 순허수가 되어 파동이 경계면을 따라 진행하면서 깊이 방향으로는 지수적으로 줄어든다. 이것이 5절의 전반사와 소산파다. 매질 2가 흡수 매질이면 $k_z$는 복소수가 되어 진행하면서 감쇠한다.

그림 10-1. 경계면의 세 파동. 경계 조건이 모든 $x$에서 성립하려면 경계면을 따라 잰 파동의 주기, 즉 $k_x$가 세 파동 모두 같아야 한다(위상 정합). 방향은 이것으로 정해지고, 진폭($r, t$)은 접선 성분 $E_\parallel, H_\parallel$의 연속 조건이 정한다.

SIMULATOR

경계면의 장: 입사 + 반사 | 투과

프리셋

n₁ n₂ k₂ (흡수) 입사각 θᵢ

편광

보기

시간 흐름

굴절각 θₜ—

r (크기 ∠ 위상)—

반사율 R—

투과율 T—

임계각 / 브루스터 각—

해볼 것: ① 위쪽(매질 1)에는 입사파와 반사파가 겹쳐 만든 부분 정재파 무늬가, 아래쪽에는 굴절된 투과파가 보인다. 경계면을 따라 세 파동의 마루 간격이 정확히 이어지는 것이 위상 정합이다. ② "유리→공기"에서 입사각을 41.8° 위로 올리면 투과파가 경계면을 따라 미끄러지는 소산파로 바뀌고 위쪽은 완전한 정재파(R = 1)가 된다. ③ p 편광에서 공기→유리 입사각을 56.3°(브루스터 각)로 맞추면 위쪽의 정재파 무늬가 사라진다. ④ 금속 프리셋에서는 투과파가 파장보다 훨씬 짧은 거리 안에 사라진다(표피 깊이).

s 편광과 p 편광의 프레넬 방정식

입사 광선과 법선이 이루는 평면을 입사면(Plane of Incidence)이라 한다. 임의의 편광은 입사면에 수직한 전기장 성분과 입사면 안에 놓인 성분으로 나눌 수 있고, 등방성 매질의 평면 경계에서 두 성분은 서로 섞이지 않는다. 그래서 두 경우를 따로 풀면 된다.

s 편광(senkrecht, TE): 전기장이 입사면에 수직(경계면에 평행). 자기장은 입사면 안에 있다.
p 편광(parallel, TM): 전기장이 입사면 안에 있다. 자기장이 입사면에 수직(경계면에 평행)이다.

그림 10-2. s 편광은 전기장이 종이면(입사면)에 수직이라 어느 각도에서도 경계면에 평행하다. p 편광은 전기장이 입사면 안에서 광선에 수직으로 놓이므로 입사각이 커질수록 경계면에 수직한 성분이 늘어난다. 이 차이가 s와 p 반사율의 각도 의존성을 갈라놓는다.

s 편광에서는 $E_y$와 $H_x$의 연속 조건 두 개를 쓰면 된다. 평면파에서 $H = (n/Z_0)E$이고 $H_x$는 $\mp H\cos\theta$이므로 다음 두 식이 나온다.

$$E_i+E_r=E_t,\qquad \tilde n_1\cos\theta_i\,(E_i-E_r)=\tilde n_2\cos\theta_t\,E_t$$

$Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx 377\,\Omega$는 공통 인자라 소거된다. $\tilde n\cos\theta$는 그 매질의 "유효 어드미턴스" 역할을 하며, 11장의 특성 행렬에서 $\eta_s=\tilde n\cos\theta$로 다시 등장한다.

두 식을 풀면 s 편광의 반사·투과 계수가 나온다. p 편광은 $H_y$와 $E_x$의 연속에서 같은 방식으로 얻는다(유효 어드미턴스가 $\tilde n/\cos\theta$가 된다).

$$r_s=\frac{\tilde n_1\cos\theta_i-\tilde n_2\cos\theta_t}{\tilde n_1\cos\theta_i+\tilde n_2\cos\theta_t},\qquad t_s=\frac{2\tilde n_1\cos\theta_i}{\tilde n_1\cos\theta_i+\tilde n_2\cos\theta_t}$$ $$r_p=\frac{\tilde n_2\cos\theta_i-\tilde n_1\cos\theta_t}{\tilde n_2\cos\theta_i+\tilde n_1\cos\theta_t},\qquad t_p=\frac{2\tilde n_1\cos\theta_i}{\tilde n_2\cos\theta_i+\tilde n_1\cos\theta_t}$$

$\cos\theta_t=\sqrt{1-(\tilde n_1\sin\theta_i/\tilde n_2)^2}$이며, 전반사나 흡수 매질에서는 복소수다. 이때 제곱근의 가지는 "투과파가 $+z$로 진행하거나 감쇠하는" 쪽을 고른다(OPT.forwardCos). 이 식들이 OPT.fresnel(n1, n2, θ)가 계산하는 값이다.

수직 입사($\theta_i=0$)에서는 $\cos\theta=1$이라 두 편광이 구별되지 않고, 반사율은 익숙한 형태가 된다.

$$R_0=\left|\frac{\tilde n_1-\tilde n_2}{\tilde n_1+\tilde n_2}\right|^2 = \frac{(n_1-n_2)^2+(k_1-k_2)^2}{(n_1+n_2)^2+(k_1+k_2)^2}$$

공기→유리(1.5): 4.0%. 공기→폴리머 마이크로렌즈(1.6): 5.3%. 공기→Si(550 nm, 4.08): 36.8%. SiO₂→Si: 22.4%. 굴절률 차이가 클수록 반사가 커진다는 것, 그리고 실리콘이 얼마나 "반짝이는" 재료인지 알 수 있다.

부호 규약: r_p의 부호는 교재마다 다르다

p 편광의 전기장 기준 방향을 어떻게 잡느냐에 따라 $r_p$의 부호가 달라진다. 이 책과 OPT는 Byrnes의 tmm 패키지·Born & Wolf와 같은 규약을 써서, 수직 입사에서 $r_p=(n_2-n_1)/(n_2+n_1)=-r_s$다. Hecht 등 일부 교재는 $r_p=+r_s$가 되도록 잡는다. 물리적으로 의미 있는 양 — $R_s, R_p, T$, 그리고 $|r_p/r_s|$와 상대 위상의 변화 — 는 규약과 무관하지만, 엘립소메트리 데이터나 다른 시뮬레이터의 $r_p$ 위상을 비교할 때는 규약부터 맞춰야 한다. 시간 인자 역시 $e^{-i\omega t}$(물리학, 이 장과 TMM)와 $e^{+i\omega t}$(9장 존스 계산)가 섞여 쓰이므로 위상의 부호를 해석할 때 주의한다.

두 계수 사이에는 유용한 관계가 있다. 같은 경계를 반대 방향(2→1)에서 입사하면 $r'=-r$이고 $tt'=1-r^2$이다(스토크스 관계(Stokes Relations)). 빛이 높은 굴절률 쪽에서 반사할 때와 낮은 쪽에서 반사할 때 진폭 반사의 부호, 즉 위상이 π 차이 나는 것이 여기서 나온다. 박막 간섭(5장)의 "π 위상 점프"가 바로 이것이다.

파워 반사율·투과율과 에너지 보존

$t$는 전기장 진폭의 비이므로 $|t|^2$은 투과율이 아니다. 예를 들어 공기→Si 수직 입사에서 $t_s = 2/(1+4.08)=0.39$인데, $|t|^2=0.155$는 실제 투과율 63%와 거리가 멀다. 파워는 경계면을 가로지르는 포인팅 벡터의 법선 성분으로 비교해야 하고, 이것은 매질의 어드미턴스와 빔 단면적을 함께 반영한다.

$$R_{s,p}=|r_{s,p}|^2,\qquad T_s=\frac{\operatorname{Re}(\tilde n_2\cos\theta_t)}{\operatorname{Re}(\tilde n_1\cos\theta_i)}\,|t_s|^2,\qquad T_p=\frac{\operatorname{Re}(\tilde n_2\cos\theta_t^{*})}{\operatorname{Re}(\tilde n_1\cos\theta_i^{*})}\,|t_p|^2$$

무손실 경계에서는 $R+T=1$이 각 편광마다 정확히 성립한다. 인자 $n_2/n_1$은 같은 전기장 진폭이라도 굴절률이 큰 매질에서 파워 밀도가 크다는 것($I=\tfrac12 n\varepsilon_0 c|E|^2$), $\cos\theta_t/\cos\theta_i$는 빔이 경계면에 닿는 면적이 같아도 굴절 후 단면적이 달라진다는 것을 반영한다. 비편광 빛은 $R=(R_s+R_p)/2$, $T=(T_s+T_p)/2$.

그림 10-3. 같은 경계면 면적 $A$를 지나는 빔이라도 입사 쪽 단면은 $A\cos\theta_i$, 투과 쪽 단면은 $A\cos\theta_t$다. 파워 투과율은 세기 비에 이 면적비를 곱해야 하고, 세기 비에는 다시 $n_2|t|^2/n_1$이 들어간다. 반사파는 입사파와 같은 매질·같은 각도라 이런 보정이 없다.

SIMULATOR

프레넬 탐색기: 각도에 따른 r, t, R, T

프리셋

n₁ n₂ k₂ 표시 각도

그래프

R_s / R_p—

T_s / T_p—

R + T (s, p)—

수직 입사 R₀—

브루스터 θ_B—

임계각 θ_c—

해볼 것: ① 공기→유리에서 R_p가 0이 되는 각(브루스터 각)과, s/p 모두 90°에서 R → 1이 되는 스침 입사를 확인한다. ② "r, t 진폭"으로 바꾸면 r_p가 브루스터 각에서 부호를 바꾸며 0을 지난다. t는 1보다 클 수 있지만(유리→공기) T는 언제나 1 이하다 — R + T = 1을 확인하자. ③ 유리→공기에서 임계각 위로 가면 R = 1이 되고 "반사 위상"이 0에서 −180° 쪽으로 연속적으로 변한다. ④ k₂를 키우면 브루스터 각의 0점이 얕은 최솟값(유사 브루스터 각)으로 바뀐다. 흡수 매질에서는 R + T가 경계면 바로 아래로 들어간 파워를 뜻한다.

경계면 (550 nm)	n₁ → n₂	R₀ (수직)	브루스터 θ_B	임계각 θ_c	센서에서의 위치
공기 → 유리/IR 필터	1.00 → 1.52	4.3%	56.7°	—	렌즈·IR 컷 필터 표면
공기 → 마이크로렌즈 수지	1.00 → 1.58	5.1%	57.7°	—	센서 최상면
수지 → 공기	1.58 → 1.00	5.1%	32.3°	39.3°	렌즈 내부 반사, 고스트
컬러 필터 → 저굴절 그리드	1.60 → 1.25	1.5%	38.0°	51.4°	CF 사이 광 가둠 벽
SiO₂ → Si	1.46 → 4.08	22.4%	70.3°	—	BSI 수광면 (ARC 없을 때)
Si → SiO₂ (DTI)	4.08 → 1.46	22.4%	19.7°	21.0°	DTI 측벽
Si → 공기	4.08 → 1.00	36.8%	13.8°	14.2°	에어갭 DTI(연구용)

표에서 두 가지를 기억하자. 첫째, 실리콘이 들어가는 경계는 반사가 20~37%로 매우 크다. 둘째, 실리콘에서 산화막으로 나가는 임계각은 21°에 불과하다. 실리콘 안의 빛은 조금만 기울어져도 산화막 벽에서 전반사된다. 후면 조사(BSI) 픽셀의 깊은 트렌치 분리(DTI)가 단순한 전기적 분리를 넘어 광 도파로로 작동하는 이유가 이것이다(6절).

브루스터 각: p 반사가 사라지는 각도

공기→유리에서 $R_p$는 입사각이 커지며 줄다가 특정 각도에서 정확히 0이 된다. $r_p$의 분자 $n_2\cos\theta_i-n_1\cos\theta_t=0$과 스넬 법칙을 연립하면 다음을 얻는다.

$$\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_B+\theta_t=90^\circ$$

무손실 유전체에서만 정확히 $R_p=0$이다. 공기→유리(1.5) 56.3°, 유리→공기 33.7°. 두 각의 합은 항상 90°다. s 편광에는 이런 각도가 없다(비자성 매질에서 $r_s=0$은 $n_1=n_2$일 때뿐).

물리적인 그림은 이렇다. 반사파는 매질 2 안에서 투과 전기장이 흔드는 전자들, 즉 진동하는 쌍극자가 다시 내는 빛이다. 쌍극자는 자신의 진동 방향으로는 빛을 내지 못한다. p 편광에서 쌍극자는 투과 광선에 수직, 입사면 안에서 진동한다. $\theta_B+\theta_t=90°$이면 반사 방향이 정확히 이 진동 방향과 일치해서 반사파가 생길 수 없다.

그림 10-4. 브루스터 각의 쌍극자 그림. 매질 2의 p 편광 쌍극자는 투과 광선에 수직으로 진동한다. $\theta_B+\theta_t=90°$이면 반사 방향이 진동축과 나란해지는데, 쌍극자는 축 방향으로 복사하지 못하므로($\propto\sin^2\psi$) p 반사가 0이 된다.

브루스터 각 근처에서는 반사광이 거의 순수한 s 편광이 된다. 수면·유리창·도로의 눈부심이 수평 방향 편광인 이유이고, 편광 선글라스와 편광 센서(9장)가 이를 이용한다. 레이저 공진기의 브루스터 창은 p 편광을 손실 없이 통과시킨다.

이미지 센서에서는 브루스터 각이 경사 입사광의 편광 의존성으로 나타난다. 센서 최상면(공기→마이크로렌즈 수지)에서 CRA 35°의 빛은 $R_s=8.1\%$, $R_p=2.7\%$로 반사된다. 비편광 평균은 5.4%로 수직 입사(5.1%)와 거의 같지만, 투과광은 이미 p 쪽으로 약간 편광되어 있다. 아래 층들의 박막 간섭(11장)은 s/p에서 다르게 일어나므로, 주변부 픽셀의 QE가 장면의 편광에 따라 조금씩 달라진다.

심화: 비자성·흡수 매질의 브루스터 각

$\mu_1=\mu_2$라는 가정 아래서 s 편광에는 브루스터 각이 없다. 자성 매질($\mu_2\ne\mu_1$)이라면 s 편광에도 무반사 각도가 생길 수 있고, 메타물질에서는 실제로 관측된다. 매질 2가 흡수 매질이면 $r_p$의 분자가 복소수라 0이 되지 않는다. $R_p$는 0이 아닌 최솟값을 갖는데, 이 각도를 유사 브루스터 각(Pseudo-Brewster Angle)이라 한다. 금속에서는 80° 근처에 얕게 나타나며, 엘립소메트리가 이 근처 각도(60~75°)에서 측정하는 것은 $r_p/r_s$가 가장 민감하게 변하는 곳이기 때문이다.

전반사와 소산파

빛이 굴절률이 큰 쪽에서 작은 쪽으로 갈 때($n_1>n_2$), 스넬 법칙의 $\sin\theta_t=(n_1/n_2)\sin\theta_i$는 $\theta_i$가 임계각(Critical Angle) $\theta_c=\sin^{-1}(n_2/n_1)$을 넘으면 1보다 커진다. 이때 $\cos\theta_t$는 순허수가 되고, 프레넬 계수의 분자와 분모는 서로 켤레 복소수가 되어 $|r_s|=|r_p|=1$이다. 모든 파워가 반사되는 전반사(Total Internal Reflection, TIR)다.

그러나 전반사에서도 매질 2의 전기장은 0이 아니다. 경계 조건을 만족하려면 매질 2에도 장이 있어야 하기 때문이다. 이 장은 경계면을 따라 $k_x$로 진행하면서 깊이 방향으로는 지수적으로 줄어드는 소산파(Evanescent Wave)다.

$$E_2(x,z)\propto e^{i k_x x}\,e^{-z/\delta},\qquad \delta=\frac{1}{\kappa}=\frac{\lambda_0}{2\pi\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_i-n_2^2}},\qquad \delta_I=\frac{\delta}{2}$$

$\delta$는 전기장 진폭이 $1/e$로 줄어드는 깊이, $\delta_I$는 세기 기준 깊이다. 임계각 바로 위에서는 $\delta\to\infty$이고, 입사각이 커질수록 짧아진다. 평균 포인팅 벡터의 $z$ 성분은 0이다 — 소산파는 경계면을 따라 에너지를 나르지만 깊이 방향으로 에너지를 빼내지 않는다(단, 2매질에 흡수가 있거나 가까이에 세 번째 매질이 있으면 달라진다 → 6절).

전반사의 반사 계수는 크기가 1이지만 위상이 변한다. $n=n_2/n_1$로 두면 반사 위상 $\delta_s, \delta_p$의 크기는 다음과 같다.

$$\tan\frac{\delta_s}{2}=\frac{\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}}{\cos\theta_i},\qquad \tan\frac{\delta_p}{2}=\frac{\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}}{n^2\cos\theta_i}$$

임계각에서 0, 스침 입사(90°)에서 π다. $n^2<1$이므로 언제나 $\delta_p>\delta_s$이고, 둘의 차이 $\Delta=\delta_p-\delta_s$는 중간 각도에서 최대가 된다. 유리(1.51)에서 $\Delta$는 약 54.6°에서 45°에 이르며, 이런 전반사 두 번으로 직선 편광을 원 편광으로 바꾸는 소자가 프레넬 마름모(Fresnel Rhomb)다 — 파장 의존성이 작은 λ/4판이다.

그림 10-5. 전반사. 반사율은 1이지만 소한 매질 쪽에 경계면을 따라 진행하고 깊이 방향으로 $e^{-z/\delta}$로 감쇠하는 소산파가 존재한다. 550 nm에서 Si→SiO₂ 경계에 76°로 입사하면 $\delta\approx 24$ nm, 940 nm에서는 $\approx 47$ nm다.

SIMULATOR

전반사의 위상, 소산파 침투 깊이, 굿-헨센 이동

경계

입사각 θᵢ 파장 λ₀

n₁ / n₂, 임계각—

위상 δₛ / δₚ—

위상차 Δ = δₚ − δₛ—

침투 깊이 δ (진폭) / δ_I—

굿-헨센 이동 Dₛ / Dₚ—

해볼 것: ① 위 그래프는 반사 위상(크기)과 그 차이를 입사각에 대해, 아래 그래프는 소한 매질 속 세기 $|E|^2$의 감쇠를 보여 준다. 임계각 바로 위에서 침투 깊이가 발산하는 것을 확인하자. ② DTI 프리셋에서 파장을 550 → 940 nm로 바꾸면 침투 깊이가 두 배 가까이 길어진다 — NIR 픽셀에서 DTI를 더 두껍게(또는 금속으로) 채우는 이유다. ③ 유리/공기에서 Δ가 최대 약 46°라 프레넬 마름모(Δ = 45° 두 번 = 90°)가 가능하다. ④ 굿-헨센 이동은 위상 $\varphi(k_x)$를 수치 미분해 $D=-\partial\varphi/\partial k_x$로 계산했다.

심화: 굿-헨센 이동 — 전반사된 빔은 옆으로 미끄러진다

무한히 넓은 평면파가 아닌 유한한 폭의 빔은 여러 $k_x$ 성분의 합이다. 전반사 위상 $\varphi(k_x)$가 $k_x$에 따라 변하므로, 각 성분이 서로 다른 위상을 얻고 그 결과 반사 빔의 중심이 경계면을 따라 $D=-\partial\varphi/\partial k_x$만큼 이동한다. 이것이 굿-헨센 이동(Goos–Hänchen Shift)으로, 1947년 은 코팅 프리즘에서 수십 번 전반사시켜 처음 측정되었다. s 편광에서 위 식을 미분하면 $D_s=2\delta\tan\theta_i$라는 간단한 결과가 나온다 — 빔이 소산파 깊이 $\delta$만큼 "들어갔다 나오는" 기하학적 그림과 같다. 크기는 파장 정도(유리/공기 60°에서 약 0.4 µm)라 일상에서는 보이지 않는다. 그러나 픽셀 피치가 0.6~1 µm인 센서에서 DTI 벽을 따라 여러 번 반사하는 빛이나, 폭 몇 백 nm의 도파로형 구조를 설계할 때는 광선 광학 그림이 이 정도 오차를 갖는다는 것을 알아 두자. 실제 소자에서는 이런 효과가 저절로 포함되는 전자기 시뮬레이션(15장)을 쓴다.

좌절된 전반사: DTI와 저굴절 그리드의 빛 가둠

소산파는 깊이 $\delta$ 정도까지만 퍼지지만, 그 안에 굴절률이 큰 세 번째 매질을 가져다 놓으면 이야기가 달라진다. 소산파가 세 번째 매질에서 다시 진행파로 바뀌어 에너지가 "틈을 건너" 새어 나간다. 이것이 좌절된 전반사(Frustrated TIR, FTIR)로, 양자역학의 터널링과 수학적으로 같은 현상이다. 틈 두께 $d$가 $\delta$보다 충분히 크면 투과율은 지수적으로 줄어든다.

$$T_{\text{FTIR}}(d)\;\approx\;T_0\,e^{-2d/\delta}\quad(d\gg\delta),\qquad \delta=\frac{\lambda_0}{2\pi\sqrt{n_1^2\sin^2\theta-n_{\text{gap}}^2}}$$

$T_0$는 굴절률과 각도로 정해지는 $O(1)$ 크기의 인자다. 정확한 값은 틈을 한 층의 박막으로 보는 TMM(11장)으로 계산한다: OPT.tmm([{m:n1}, {m:gap, d}, {m:n1}], λ, {theta}). 지수 인자 덕분에 틈 두께가 $\delta$의 몇 배만 되어도 투과는 사실상 0이 된다. 반대로 $d\ll\delta$이면 틈이 "보이지 않아" 거의 모든 빛이 통과한다.

FTIR은 빔 분할 큐브, 지문 센서(손가락이 닿은 곳에서만 전반사가 깨진다), 프리즘 결합기, 광섬유 결합에 쓰인다. 그런데 이미지 센서 픽셀에서는 바로 광학 크로스토크를 막는 벽의 성능을 결정한다.

그림 10-6. 픽셀 단면의 두 "전반사 벽". 컬러 필터(n≈1.6) 사이의 저굴절 그리드(n≈1.25)는 임계각 51°, 실리콘(n≈4) 사이의 산화막 DTI는 임계각 21°다. 벽이 수직이므로 수직에서 $\phi$만큼 기운 광선은 벽에 $90°-\phi$로 거의 스치듯 입사해 전반사된다. 그러나 벽 두께가 소산파 깊이에 비해 충분하지 않으면 FTIR로 일부가 이웃 픽셀로 샌다(점선).

숫자로 확인해 보자. 벽이 수직이므로 광선이 수직축에서 $\phi$만큼 기울어 진행하면 벽에 대한 입사각은 $\theta=90°-\phi$다.

DTI (Si/SiO₂/Si): 평면 경계를 굴절해 들어온 빛은 실리콘 안에서 $\phi\le\sin^{-1}(1/n_{\text{Si}})\approx14°$이므로 DTI 벽에는 76° 이상으로 입사한다. 하지만 작은 픽셀의 회절이나 산란이 생기면 $\phi$ = 20° 이상의 성분도 생긴다. 550 nm에서 $\delta\approx 24$ nm라 폭 100 nm의 산화막 DTI로 충분하다(누설 < 0.05%). 그러나 940 nm에서는 $\delta\approx 47$~$49$ nm로 두 배가 되어, $\theta=70°$에서 폭 60 nm면 8.5%, 100 nm면 1.6%가 이웃 픽셀로 넘어간다. NIR용 픽셀에서 DTI를 넓히거나 금속(W)을 채우는 이유다.
저굴절 그리드 (CF/low-n/CF): 굴절률 대비가 작아 $\delta$가 100~150 nm로 길다. 마이크로렌즈가 모으는 빛이 컬러 필터 안에서 $\phi$ = 20~30°로 진행하면 벽에 60~70°로 입사하는데, 그리드 폭 200 nm일 때 FTIR 누설은 60°에서 약 21%, 70°에서 약 5.5%다. 그래서 저굴절 그리드는 아래쪽에 얇은 금속 그리드를 함께 두거나, 굴절률을 1.2 이하로 낮추는 방향(다공성 산화막)으로 발전해 왔다.

SIMULATOR

좌절된 전반사: 틈 두께에 따른 누설 (TMM)

구조

벽 입사각 θ 틈(벽) 두께 d 파장 λ₀ T 로그 축

임계각 / 수직 기준 진행각 φ—

소산파 깊이 δ—

누설 Tₛ / Tₚ—

비편광 누설 T—

근사 e^−2d/δ—

해볼 것: ① 위 그래프는 틈 두께에 따른 누설(투과율)이다. 로그 축에서 직선으로 떨어지는 구간이 $e^{-2d/\delta}$의 지수 감쇠다. ② DTI에서 파장을 550 ↔ 940 nm로 바꿔 같은 누설을 얻는 데 필요한 두께를 비교해 보자. ③ 벽 입사각을 임계각 아래로 내리면 누설이 "얇은 막의 일반 투과"로 바뀌어 두께에 따라 진동한다(박막 간섭). ④ 아래 그림은 s 편광의 $|E|^2$ 분포: 틈 안에서 지수적으로 줄고, 반대편에서 남은 진폭으로 다시 진행한다. Si는 흡수를 무시한 실수 굴절률로 계산했다.

설계 직관: 벽 두께는 δ의 몇 배인가?

누설을 1% 이하로 만들려면 대략 $e^{-2d/\delta}<10^{-2}$, 즉 $d>2.3\,\delta$가 필요하다($T_0$ 인자를 무시한 어림). DTI(940 nm, 70°): $\delta\approx49$ nm → $d\gtrsim110$ nm. 저굴절 그리드(550 nm, 65°): $\delta\approx120$ nm → $d\gtrsim280$ nm. 그런데 벽이 두꺼워지면 픽셀의 수광 면적이 줄어든다. 0.7 µm 피치에서 250 nm 그리드는 면적의 60% 가까이를 가린다. 그래서 작은 픽셀에서는 벽을 얇게 두고 금속을 섞는 하이브리드 구조, 또는 회절까지 고려한 전자기 최적화(14장, 15장)가 필요하다.

흡수 매질과 금속의 반사

프레넬 방정식은 복소 굴절률 $\tilde n=n+ik$에도 그대로 성립한다. 달라지는 것은 $\cos\theta_t$가 복소수가 되어 $r$의 위상이 0이나 π가 아닌 값을 갖는다는 점, 그리고 투과파가 매질 안에서 감쇠한다는 점이다(1장). 세기의 감쇠 길이는 다음과 같다.

$$I(z)=I_0\,e^{-\alpha z},\qquad \alpha=\frac{4\pi k}{\lambda_0},\qquad \delta_{\text{skin}}=\frac{1}{\alpha}=\frac{\lambda_0}{4\pi k}$$

$k$는 소광 계수. 금속은 $k$가 5~10으로 커서 $\delta_{\text{skin}}$이 몇 nm 수준이다(Al 550 nm: $k\approx6.7$ → 6.6 nm). 실리콘은 가시광에서 $k$가 0.003~0.3 정도라 반사율은 $n$이 거의 결정하고, 흡수 깊이는 0.1~10 µm다. 금속처럼 $k\gg n$이면 $R_0=\frac{(n-1)^2+k^2}{(n+1)^2+k^2}\to 1$로 거울이 된다.

금속의 큰 $k$는 자유 전자의 응답에서 나온다. 드루드 모형에서 유전율 $\varepsilon=1-\omega_p^2/(\omega^2+i\gamma\omega)$은 플라스마 주파수 $\omega_p$ 아래에서 음수가 되고, $\tilde n=\sqrt\varepsilon$은 거의 순허수가 된다. 진행파가 존재할 수 없으니 빛은 대부분 반사된다. 알루미늄은 $\omega_p$가 자외선(약 15 eV)에 있어 가시광 전체에서 90% 이상 반사하고, 800 nm 근처에 밴드 간 전이에 의한 작은 흡수 골이 있다. 텅스텐은 밴드 간 전이가 가시광에 걸쳐 있어 $n\approx k\approx3$인 "회색" 금속으로, 반사율이 50% 정도이고 나머지는 흡수한다.

재료	λ (nm)	ñ = n + ik	R (공기에서)	R (SiO₂에서)	세기 침투 깊이
Si	450	4.67 + 0.091i	41.9%	27.3%	0.39 µm
	550	4.08 + 0.028i	36.8%	22.4%	1.6 µm
	650	3.85 + 0.015i	34.5%	20.3%	3.5 µm
Al	450	0.63 + 5.47i	92.3%	89.2%	6.5 nm
	550	0.98 + 6.67i	91.9%	88.6%	6.6 nm
	650	1.52 + 7.79i	90.9%	87.3%	6.6 nm
W	450	3.45 + 2.75i	49.6%	36.3%	13 nm
	550	3.55 + 2.85i	50.7%	37.6%	15 nm
	650	3.65 + 2.90i	51.4%	38.3%	18 nm

표의 값은 OPT.n의 교육용 근사 데이터로 계산한 것이다(실제 박막 금속은 결정립·산화층에 따라 몇 % 달라진다). 산화막 안에서 금속을 볼 때 반사율이 낮아지는 것에 주목하자. 픽셀 안의 금속은 항상 산화막이나 질화막에 묻혀 있으므로, 설계에는 "SiO₂에서" 열의 값이 의미 있다.

SIMULATOR

금속 그리드 재료: Al, W, Si의 반사 스펙트럼

입사 매질

편광

입사각 표시 파장

Al: ñ, R—

W: ñ, R—

Si: R—

표피 깊이 (Al / W)—

그리드에 닿은 빛의 흡수 (Al / W)—

해볼 것: ① Al은 가시광 전체에서 거울(~90%)이고 800 nm 근처에 밴드 간 흡수 골이 있다. W는 공기에서 50%, SiO₂ 안에서는 37% 남짓만 반사하고 나머지를 흡수한다. ② 입사 매질을 공기 → SiO₂로 바꾸면 모든 반사율이 내려간다(굴절률 대비 감소). ③ p 편광으로 입사각을 올리면 금속의 R_p가 70~80°에서 얕은 최솟값(유사 브루스터 각)을 지난다. ④ 불투명한 금속에서는 T ≈ 0이므로 1 − R이 그대로 흡수다. 금속 그리드에 맞은 빛은 반사되든 흡수되든 해당 픽셀의 신호에서 빠진다.

실무 노트: 금속 그리드 — 흡수할 것인가, 반사할 것인가

BSI 픽셀의 컬러 필터 사이(또는 아래)에 두는 금속 그리드는 이웃 픽셀로 비스듬히 넘어가는 빛을 막는다. 재료 선택에는 트레이드오프가 있다. W는 공정 호환성(CMP, 텅스텐 플러그 공정)과 안정성이 좋지만 닿은 빛의 절반 이상을 흡수해 감도를 깎는다. Al은 90%를 반사해 손실은 적지만 반사광이 렌즈 쪽으로 돌아가 플레어·고스트의 원인이 될 수 있다(16장). 그리드 윗면은 센서 표면의 주기 구조이므로 반사광이 회절해 꽃잎·점 모양 플레어를 만든다. 그래서 금속 그리드 위에 TiN 같은 흡수성 캡층을 두거나, 그리드 폭을 줄이고 저굴절 그리드(6절)와 조합한다. 또한 그리드는 수광 개구를 줄이므로, 0.7 µm 피치에서 폭 100 nm 그리드는 면적의 약 27%를 가린다 — 마이크로렌즈가 이 개구로 빛을 모아 주어야 한다(13장).

실리콘 표면 반사: 수광면에서 잃는 35%

실리콘의 굴절률은 가시광에서 3.8~4.7로 매우 크고 파장이 짧을수록 커진다(직접 밴드갭 근처의 공명, 약 3.4 eV). 그래서 맨 실리콘 표면은 공기 중에서 32~49%를 반사한다. 광검출기 관점에서 이것은 QE의 상한이 $1-R\approx 60\%$라는 뜻이다. BSI 픽셀에서 실리콘은 공기가 아니라 산화막·고유전율막 아래에 있으므로 반사는 20~27%로 줄지만, 그래도 아무 대책 없이는 신호의 1/4을 버린다.

$$\eta_{\max}(\lambda)=1-R(\lambda),\qquad \text{공기→Si (550 nm)}: \;1-0.368=0.63,\qquad \text{SiO}_2\text{→Si}: \;1-0.224=0.78$$

$\eta_{\max}$는 반사로 정해지는 내부 QE 상한(실리콘 안에서 흡수가 100%라는 가정). 실제 QE는 여기에 투과 손실(컬러 필터, 그리드), 흡수 깊이 대비 실리콘 두께, 전하 수집 효율이 곱해진다(SensorBook 3장).

SIMULATOR

실리콘 표면 반사 스펙트럼과 반사 방지막 미리보기

Si 위의 매질

입사각 (그 매질 안)

λ/4 단층 ARC

ARC 설계 파장

R @ 450 / 550 / 650 nm—

가시광 평균 R (400–700)—

ARC 두께 / 이상적 n_ARC—

ARC 없을 때 대비 투과 이득 (가시)—

해볼 것: ① 공기 → SiO₂ → Si₃N₄로 위 매질의 굴절률을 올리면 실리콘 반사가 줄어든다 — 굴절률 대비가 작아지기 때문이다. ② HfO₂ λ/4층을 켜면 설계 파장에서 반사가 22% → 5% 근처로 떨어진다. 완전한 0을 얻으려면 $n_{\text{ARC}}=\sqrt{n_{\text{위}}\,n_{\text{Si}}}\approx2.44$(SiO₂ 위)가 필요한데, TiO₂가 여기에 가장 가깝다. ③ 단층 ARC는 V자 모양이라 청색·적색 끝에서 효과가 줄어든다 — 그래서 실제 BSI는 HfO₂/Ta₂O₅ 등 2~3층 스택을 쓴다(11장). 점선은 ARC가 없을 때다.

위의 λ/4 반사 방지막은 다음 장의 주제지만, 원리는 이 장만으로 이해할 수 있다. 막의 윗면과 아랫면에서 반사된 두 파동이 왕복 위상 π(λ/4 두께 × 2)만큼 어긋나 상쇄되고, 두 반사의 크기가 같아지도록 $n_{\text{ARC}}^2=n_{\text{위}}\,n_{\text{Si}}$를 고른다. 각 면의 반사 진폭은 이 장의 프레넬 계수 그대로다.

BSI 수광면의 ARC는 "광학막"만이 아니다

BSI 실리콘 표면 바로 위에 쌓는 HfO₂·Al₂O₃ 같은 고유전율 막은 음의 고정 전하로 표면에 정공 축적층을 만들어 암전류를 억제하는 패시베이션 역할도 한다(SensorBook 참고). 그래서 첫 층의 재료와 두께는 전기적 조건이 먼저 정하고, 광학 설계는 그 위의 층(Ta₂O₅, SiO₂, Si₃N₄)으로 맞추는 경우가 많다. 광학만 보고 TiO₂ 단층이 최적이라고 결론 내리면 안 되는 이유다.

렌즈 스택의 프레넬 손실과 고스트

모바일 카메라 렌즈는 플라스틱 비구면 렌즈 5~7매(5P~7P)와 IR 컷 필터로 이루어진다. 렌즈 수지(COC/COP 계열 n≈1.54, 폴리카보네이트·OKP 계열 n≈1.64)의 공기 계면 반사율은 각각 4.5%, 5.9%다. 렌즈 한 매에 면이 둘이므로, 코팅이 없다면 투과율은 면의 수만큼 거듭제곱으로 줄어든다.

$$T_{\text{lens}}=\prod_{i=1}^{N_s}(1-R_i)\;\approx\;e^{-\sum R_i},\qquad P_{\text{ghost}}\approx\sum_{i<j}R_iR_j$$

$N_s$는 공기 계면 수. 5P 렌즈 + IR 필터(면 12개, 각 5%)라면 $0.95^{12}=0.54$ — 빛의 거의 절반을 잃는다. 이것은 $\log_2(1/0.54)\approx0.9$ 스톱, 즉 F/1.8 렌즈가 F/2.5처럼 어두워지는 것과 같다. $P_{\text{ghost}}$는 두 면에서 한 번씩 반사되어 다시 센서 쪽으로 가는 2차 반사광의 총 파워 비율(근사)이다.

그림 10-7. 모바일 렌즈 스택의 프레넬 손실과 고스트. 주 광선은 공기 계면마다 $1-R$씩 잃고, 반사된 빛 일부는 다른 면에서 다시 반사되어 센서로 돌아온다. 가장 강한 고스트는 반사율이 높은 센서 표면과 그 바로 앞의 IR 필터·마지막 렌즈 면 사이에서 생긴다.

SIMULATOR

렌즈 스택 투과율과 고스트 예산

렌즈 매수 렌즈 굴절률

렌즈 코팅

센서 표면 반사율 IR 컷 필터 포함 (면 2개)

공기 계면 수—

면당 반사율 (가시 평균)—

렌즈 투과율—

스톱 손실—

2차 고스트 총합 / 센서 관련분—

해볼 것: ① 코팅 "없음"에서 렌즈를 5 → 8매로 늘리면 투과율이 60% 아래로 떨어진다. 다층 AR(면당 ~0.3%)이면 같은 8매에서도 95% 이상이다 — 다매 렌즈가 가능해진 것은 AR 코팅 덕분이다. ② 막대는 각 면을 지난 뒤의 누적 투과율. ③ 렌즈를 잘 코팅해도 고스트 총합은 센서 표면 반사율에 비례해 남는다. 센서 쪽 반사를 줄이는 것(ARC, 나방눈 구조)이 고스트 대책의 다른 절반이다. 면당 반사율은 450–650 nm 평균으로 MgF₂ 단층은 TMM으로 계산했고, 다층 AR은 0.3%로 가정했다.

고스트는 에너지 총량보다 어디에 얼마나 모이는지가 중요하다. 두 면 사이를 왕복한 빛은 대개 초점이 맞지 않아 넓게 퍼지지만, 곡률이 맞으면 상면 근처에 다시 초점을 맺어 밝은 점이나 링으로 보인다. 특히 센서 표면은 주기적인 마이크로렌즈·그리드 배열이라 반사광이 회절 차수로 나뉘어 "꽃잎 플레어"를 만든다. 렌즈·필터 쪽의 AR 코팅과 센서 쪽 반사 저감, 그리고 그 각도 특성은 16장에서 광선 추적과 함께 다룬다.

센서 표면의 각도 의존 반사와 CRA

모바일 렌즈의 주광선각(CRA)은 상 높이에 따라 0°에서 30~38°까지 커진다(12장). 센서 주변부의 픽셀은 이 각도로 기울어진 빛을 받는다. 그렇다면 경계면 반사만으로 주변부 감도가 얼마나 떨어질까? 센서 위 스택을 평면 경계의 연속(공기 → 마이크로렌즈 수지 → 컬러 필터 → SiO₂ → Si)으로 단순화하고, 각 경계의 투과율을 곱해(다중 반사 간섭은 무시) 계산해 보자. 보존되는 $\beta=\sin\theta_{\text{air}}$ 덕분에 각 층 안의 각도는 $\sin\theta_j=\beta/n_j$로 바로 구해진다.

$$T_{\text{stack}}^{s,p}(\theta)\approx\prod_j T_{j\to j+1}^{s,p}(\theta_j),\qquad \sin\theta_j=\frac{\sin\theta_{\text{air}}}{n_j},\qquad T=\tfrac12\left(T^s+T^p\right)$$

각 경계의 $T$는 3절의 파워 투과율. 실리콘 안의 각도는 $\sin\theta_{\text{Si}}=\sin35°/4.08$ → 8.1°로, 공기 중 CRA가 커도 실리콘 안에서는 거의 수직이다. 실제 마이크로렌즈는 곡면이라 국소 입사각이 픽셀 안에서 다르지만, 평균적인 경향은 이 계산으로 충분히 읽힌다.

SIMULATOR

CRA에 따른 센서 스택 투과율 (경계면만)

CRA (공기 중) 파장

Si 계면

그래프

최상면 R_s / R_p—

Si 계면 R_s / R_p—

스택 T (s / p / 비편광)—

0° 대비 (비편광)—

Si 안의 각도—

해볼 것: ① 비편광 투과율은 CRA 35°까지 거의 평평하다 — s는 줄고 p는 늘어 서로 상쇄된다. 경계면 반사만으로는 주변부 감도 저하(렌즈 셰이딩)의 일부만 설명된다. 나머지는 마이크로렌즈 초점 이탈, 그리드 가림, cos⁴ 법칙에서 온다(12장). ② 그러나 s/p의 차이는 35°에서 약 10%p에 이른다. 편광된 장면(수면 반사, LCD)에서는 주변부 밝기가 편광에 따라 변한다. ③ ARC를 켜면 절대 투과율이 크게 오르고, 각도 의존성도 여전히 작다. ④ CRA를 45°로 올려 s/p 차이가 빠르게 커지는 것을 확인하자. ARC 계면은 TMM(간섭 포함), 나머지 경계는 단순 곱이다.

실무 노트: 반사율 측정과 각도 응답 평가

① 웨이퍼 반사율: 공정 중 수광면 ARC의 품질은 분광 반사율(보통 수직 입사 또는 8° 입사)로 관리한다. 측정 스펙트럼을 TMM 모형에 맞춰 각 막의 두께를 역산한다(11장). ② 각도 응답: 완성된 센서는 평행광의 입사각을 바꿔 가며 픽셀 신호를 재는 각도 응답(Angular Response) 측정을 한다. 이때 광원이 편광되어 있으면 s/p 차이 때문에 결과가 달라지므로, 비편광(또는 두 편광 평균) 조건을 명시한다. ③ 모듈 반사: 센서 표면의 전체 반사율(수지 표면 + 내부 계면 + 그리드)은 보통 5~10%이고, 이 값이 렌즈 쪽 AR 코팅과 함께 고스트 수준을 정한다. 플레어 불량이 나면 센서 표면 반사 스펙트럼과 각도 특성부터 확인한다. ④ 시뮬레이션: 서로 결맞지 않는 두꺼운 층(커버 유리, IR 필터 기판)은 TMM에서 간섭을 끄고(비결맞음 처리) 세기로 더해야 실측과 맞는다. 얇은 막만 결맞게 계산한다.

핵심 정리

접선 전기장·자기장의 연속 조건이 경계면의 모든 것을 정한다. 위상 정합($k_x$ 보존)에서 반사 법칙과 스넬 법칙이, 진폭 조건에서 프레넬 계수가 나온다.
s(TE)와 p(TM)는 독립이다. $r_s=(n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t)/(\cdot+\cdot)$, $r_p=(n_2\cos\theta_i-n_1\cos\theta_t)/(\cdot+\cdot)$. 수직 입사 반사율은 $|(\tilde n_1-\tilde n_2)/(\tilde n_1+\tilde n_2)|^2$. $r_p$의 부호 규약은 교재마다 다르다.
파워 투과율은 $|t|^2$이 아니라 $\operatorname{Re}(n_2\cos\theta_t)/\operatorname{Re}(n_1\cos\theta_i)\cdot|t|^2$이며, 무손실 경계에서 $R+T=1$.
브루스터 각 $\tan\theta_B=n_2/n_1$에서 $R_p=0$. 흡수 매질에서는 유사 브루스터 각의 얕은 최솟값이 된다. 경사 입사에서는 투과광이 p 쪽으로 편광된다.
$\theta>\theta_c=\sin^{-1}(n_2/n_1)$에서 전반사: $R=1$, 반사 위상 $\delta_s, \delta_p$가 생기고, 깊이 $\delta=\lambda_0/(2\pi\sqrt{n_1^2\sin^2\theta-n_2^2})$의 소산파가 존재한다. 빔은 굿-헨센 이동 $D_s=2\delta\tan\theta$만큼 미끄러진다.
얇은 저굴절 틈 너머에 고굴절 매질이 있으면 FTIR로 $\sim e^{-2d/\delta}$만큼 샌다. DTI(Si/SiO₂, θc≈21°)와 저굴절 그리드(CF/low-n, θc≈51°)의 크로스토크 억제는 벽 두께 대 $\delta$의 비율로 결정되며, NIR일수록 $\delta$가 길어 불리하다.
복소 굴절률 매질도 같은 식을 쓴다. Al은 가시광 반사 ~90%(SiO₂ 안에서 ~88%), W는 ~50%(~37%)이고 나머지는 흡수한다. 표피 깊이는 $\lambda/(4\pi k)$, 수 nm~수십 nm.
실리콘 표면 반사는 가시광(450–650 nm)에서 공기 기준 35~42%, SiO₂ 기준 20~27%로 QE 상한을 직접 깎는다. λ/4 ARC($n_{\text{ARC}}=\sqrt{n_{\text{위}}n_{\text{Si}}}$)나 다층 스택이 필수다.
렌즈 공기 계면당 4~6% 반사는 5P+IR 필터에서 투과율 ~54%(약 0.9 스톱)가 된다. AR 코팅이 다매 렌즈를 가능하게 했고, 남은 고스트는 센서 표면 반사율에 비례한다.
경계면 반사만 보면 비편광 투과율은 CRA 35°까지 거의 일정하지만 s/p 차이는 약 10%p까지 벌어진다. 주변부 감도 저하의 주원인은 다른 곳(12·13장)에 있다.

확인 퀴즈

Q1. 스넬 법칙 $n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t$은 경계 조건의 어떤 요구에서 직접 나오는가?

경계 조건이 모든 $x$에서 성립하려면 세 파동의 $e^{ik_xx}$ 인자가 같아야 한다. $k_x=k_0n\sin\theta$이므로 스넬 법칙과 반사 법칙이 함께 나온다. 진폭 비(r, t)는 그 다음에 접선 성분 연속 조건으로 정해진다. 페르마 원리로도 유도할 수 있지만(2장), 전자기적 근거는 위상 정합이다.

Q2. 공기에서 SiO₂(n = 1.46) 아래 Si(n = 4.08)로의 계면 반사율(수직 입사)은 대략?

$((4.08-1.46)/(4.08+1.46))^2=(2.62/5.54)^2=0.224$. 공기→Si면 36.8%. 산화막에 묻힌 실리콘은 반사가 줄지만, 그래도 ARC 없이는 신호의 1/5 이상을 잃는다.

Q3. 공기→Si 수직 입사에서 $t=2/(1+4.08)=0.394$이다. 실리콘으로 들어가는 파워 투과율은?

$T=(n_2\cos\theta_t/n_1\cos\theta_i)|t|^2=4.08\times0.155=0.632$이고 $R=0.368$과 더하면 1이다. 같은 전기장 진폭이라도 굴절률이 큰 매질에서는 세기 $I\propto n|E|^2$가 크다.

Q4. 굴절률 1.58인 마이크로렌즈 수지에 대한 브루스터 각(공기에서)은?

$\tan^{-1}(1.58)=57.7°$. 32.3°는 반대 방향(수지→공기)의 브루스터 각, 39.3°는 수지→공기 임계각이다. 브루스터 각에서 반사가 0이 되는 것은 p 편광이다.

Q5. 전반사 조건에서 소산파에 대한 설명으로 옳은 것은?

$\delta=\lambda_0/(2\pi\sqrt{n_1^2\sin^2\theta-n_2^2})$. 경계 조건 때문에 장은 존재하지만 평균 포인팅 벡터의 법선 성분은 0이다. 파장에 비례하므로 NIR에서 더 깊이 스며든다.

Q6. 940 nm용 픽셀에서 산화막 DTI의 FTIR 누설이 550 nm보다 큰 주된 이유는?

FTIR 누설은 대략 $e^{-2d/\delta}$. $\delta$는 $\lambda_0$에 비례하고, $n_{\text{Si}}$가 4.08 → 3.61로 줄어 $\sqrt{n_1^2\sin^2\theta-n_2^2}$도 작아진다. 70° 입사에서 550 nm $\delta\approx25$ nm, 940 nm $\approx49$ nm. 임계각(21~24°)보다 훨씬 큰 각이라 전반사 자체는 일어난다.

Q7. 산화막 안의 금속 그리드에 빛이 닿을 때(550 nm) 옳은 비교는?

$\tilde n_{\text{Al}}\approx0.98+6.7i$, $\tilde n_{\text{W}}\approx3.55+2.85i$. 큰 $k$ 대비 작은 $n$인 Al이 좋은 거울이다. 표피 깊이는 Al 7 nm, W 15 nm로, 수십~수백 nm 두께의 그리드는 불투명하다. 흡수는 감도 손실, 반사는 플레어 위험으로 이어진다.

Q8. 코팅되지 않은 렌즈(면당 R = 5%) 6매와 IR 필터(면 2개, 같은 반사율 가정)를 통과하는 투과율은?

공기 계면 14개 → $0.95^{14}=0.488$. 약 1스톱의 손실이다. 다층 AR(면당 0.3%)이면 $0.997^{14}=0.959$.

Q9. 공기 중 CRA 35°로 센서에 들어온 빛이 실리콘(n = 4.08) 안에서 진행하는 각도는? (평면 스택 가정)

$\beta=\sin35°=0.574$가 모든 층에서 보존되므로 $\theta_{\text{Si}}=\sin^{-1}(0.574/4.08)=8.1°$. 중간 층의 굴절률과 무관하다. 그래서 평면 스택에서 실리콘 안의 빛은 거의 수직이며, DTI 벽에는 80° 이상의 스침각으로 닿는다.

Q10. SiO₂(n = 1.46) 위에서 Si(n = 4.08)의 반사를 λ/4 단층으로 완전히 없애려면 막의 굴절률은?

$n_{\text{ARC}}=\sqrt{1.46\times4.08}=2.44$. 위·아래 면의 반사 진폭이 같아야 λ/4 두께의 왕복 위상 π로 완전히 상쇄된다. HfO₂(1.94)는 22% → 5% 정도까지만 줄인다. 11장에서 다층으로 확장한다.