Chapter 05

간섭과 결맞음

두 빛이 만나면 밝기가 더해지기만 하는 것이 아니라, 위상이 맞으면 네 배로 밝아지고 어긋나면 사라진다. 이 장에서는 간섭이 언제 보이고 언제 사라지는지를 결정하는 결맞음(Coherence)을 중심으로, 영의 이중 슬릿과 마이컬슨 간섭계, 패브리–페로 공진기, 박막 간섭을 다룬다. 그리고 그것이 이미지 센서의 QE 스펙트럼에 나타나는 리플, 산화막 두께 측정, 픽셀 시뮬레이션의 광원 모델링과 어떻게 이어지는지 따라간다.

파동의 중첩을 페이저로 계산하고, 결맞는 합($N^2$)과 결맞지 않는 합($N$)의 차이를 설명한다.
두 빔 간섭 세기 공식과 가시도(Visibility)를 쓰고, 4% 반사도 큰 리플을 만드는 이유를 안다.
스펙트럼 폭으로부터 결맞음 길이 $\ell_c\approx\lambda^2/\Delta\lambda$를, 광원의 각크기로부터 결맞음 폭을 추정한다.
패브리–페로 투과 함수, 자유 스펙트럼 범위(FSR), 피네스를 계산한다.
BSI 픽셀 스택의 산화막·실리콘층이 만드는 QE 리플을 TMM으로 계산하고, 측정 대역폭에 따라 리플이 사라지는 조건을 판단한다.

중첩 원리와 페이저

진공과 대부분의 광학 재료에서 맥스웰 방정식은 선형이다. 그래서 두 전기장 $\mathbf E_1$, $\mathbf E_2$가 각각 해라면 그 합도 해다. 이것이 중첩 원리(Superposition Principle)이며 간섭과 회절의 모든 현상은 여기서 출발한다. 그런데 우리가 측정하는 것은 전기장이 아니라 세기다. 가시광의 진동 주기는 약 2 fs로, 어떤 광검출기도(실리콘 포토다이오드든 눈이든) 그 진동을 따라가지 못하고 시간 평균된 $\langle|\mathbf E|^2\rangle$만 본다.

같은 진동수 $\omega$의 단색파는 복소 진폭 $\tilde E = A e^{i\phi}$로 나타내고 실제 장은 $E(t)=\mathrm{Re}\{\tilde E e^{-i\omega t}\}$로 복원한다. 복소 평면 위의 화살표 $\tilde E$를 페이저(Phasor)라 부른다. 장을 더하는 것은 화살표를 머리–꼬리로 잇는 일이고, 세기는 결과 화살표 길이의 제곱이다.

$$I \propto \langle |E_1+E_2|^2\rangle = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos(\phi_2-\phi_1)$$

$I_i = |\tilde E_i|^2$ (비례 상수 $\tfrac12 n c\varepsilon_0$은 생략). 마지막 항이 간섭항(Interference Term)이다. 위상차가 0이면 $I=(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2$, $\pi$이면 $(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2$. 에너지는 사라지지 않고 공간적으로 재배치될 뿐이다.

$N$개의 같은 진폭 파동을 더해 보자. 위상이 모두 같으면 결과 진폭은 $N$, 세기는 $N^2$이다. 위상이 서로 무관하게 제멋대로라면 화살표가 무작위 보행(Random Walk)을 하므로 평균 세기는 $N$이다. 즉 결맞는 합은 진폭을 더하고, 결맞지 않는 합은 세기를 더한다. 일상의 조명에서 간섭무늬를 거의 못 보는 이유는 광원의 서로 다른 원자들이 독립적으로, 그리고 수 fs~ps마다 위상을 바꾸며 빛을 내기 때문이다.

그림 5-1. 페이저 덧셈. 두 화살표(청록·보라)를 머리–꼬리로 이은 결과(주황)의 길이 제곱이 세기다. 세기 공식 $I = 2I_0(1+\cos\Delta\phi)$는 이 삼각형에 코사인 법칙을 쓴 것과 같다.

SIMULATOR

페이저 합: 결맞는 합 N² vs 결맞지 않는 합 N

파동 개수 N 이웃 위상차 Δφ 무작위 위상 (결맞지 않는 광원)

세기 |ΣE|²—

최대 대비 I/N²—

무작위 위상 평균—

해볼 것: ① Δφ = 0에서 세기가 N²인지 확인. ② Δφ = 360°/N이면 화살표가 닫힌 다각형을 이뤄 세기가 0이 된다(회절 격자의 첫 영점, 6장). ③ 무작위 위상을 켜면 화살표가 매 프레임 흩어지는데, 누적 평균이 N에 수렴한다. 결맞지 않는 빛은 세기가 단순히 더해진다.

두 빔 간섭과 가시도

실제 광원은 완벽한 단색파가 아니다. 두 빔이 같은 광원에서 갈라져 나왔더라도 경로차가 커지거나 광원이 넓으면 위상 관계가 부분적으로만 유지된다. 이를 반영한 일반적인 두 빔 간섭식은 다음과 같다.

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\;|\gamma_{12}|\cos\!\big(\delta + \arg\gamma_{12}\big),\qquad \mathcal V \equiv \frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1+I_2}\,|\gamma_{12}|$$

$\delta = 2\pi\,\mathrm{OPD}/\lambda$는 광경로차(Optical Path Difference)에 의한 위상차, $\gamma_{12}$는 두 빔의 복소 결맞음도(Complex Degree of Coherence)로 $0\le|\gamma_{12}|\le1$. $|\gamma|=1$이면 완전 결맞음, 0이면 완전 비결맞음, 그 사이는 부분 결맞음(Partial Coherence)이다. 가시도 $\mathcal V$는 무늬의 '선명도'로, 세기비와 결맞음도의 곱이다.

가시도 식에서 중요한 점은 세기가 아니라 진폭의 비가 무늬를 결정한다는 것이다. $I_2/I_1 = 0.04$(유리 한 면의 반사율 정도)라도 진폭비는 $0.2$이므로 $\mathcal V = 2(0.2)/(1.04) = 0.38$이다. 즉 4%짜리 약한 반사도 신호를 ±38% 흔드는 무늬를 만든다. 반사 방지 코팅이 없는 산화막 위 실리콘의 반사 스펙트럼이 크게 출렁이고, 레이저 조명에서 작은 반사가 눈에 띄는 무늬를 만드는 이유다.

그림 5-2. 가시도. 두 빔 세기가 같으면 무늬가 완전히 어두운 곳까지 내려가지만(왼쪽), 25배 차이가 나도 진폭비는 5배라 무늬가 여전히 ±38% 깊이로 남는다(오른쪽). 결맞음도 $|\gamma|$가 줄면 같은 방식으로 가시도가 낮아진다.

간섭무늬를 얻는 방법은 크게 둘이다. 하나의 파면을 공간적으로 나누는 파면 분할(Wavefront Division) — 영의 이중 슬릿, 회절 격자 — 과, 반투명 거울이나 박막 경계면으로 진폭을 나누는 진폭 분할(Amplitude Division) — 마이컬슨, 패브리–페로, 박막 — 이다. 파면 분할은 주로 공간적 결맞음을, 진폭 분할은 주로 시간적 결맞음을 시험한다.

영의 이중 슬릿

1801년 토머스 영은 한 광원을 두 개의 좁은 틈으로 나누어 스크린에 줄무늬를 만들어 빛이 파동임을 보였다. 슬릿 간격 $d$, 스크린 거리 $L\gg d$일 때 각도 $\theta$ 방향으로 가는 두 빛의 경로차는 $d\sin\theta$이다.

$$I(\theta) = I_0\,\underbrace{\mathrm{sinc}^2\!\Big(\frac{a\sin\theta}{\lambda}\Big)}_{\text{단일 슬릿 포락선}}\;\underbrace{\cos^2\!\Big(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\Big)}_{\text{두 슬릿 간섭}},\qquad \Lambda = \frac{\lambda L}{d}$$

$a$는 슬릿 폭, $\mathrm{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$. 밝은 무늬 조건 $d\sin\theta = m\lambda$ ($m$=무늬 차수). $\Lambda$는 스크린 위 무늬 주기(소각 근사). 포락선은 6장의 단일 슬릿 회절이다.

그림 5-3. 영의 이중 슬릿. 점 P에서 두 슬릿까지 거리 차가 $d\sin\theta$이고, 이것이 $\lambda$의 정수배이면 밝은 무늬가 생긴다. 무늬 주기 $\Lambda=\lambda L/d$는 슬릿 간격에 반비례한다.

스펙트럼 폭이 $\Delta\lambda$인 광원을 쓰면 파장마다 무늬 주기가 조금씩 달라서, 중앙(경로차 0)에서는 모든 파장이 같이 밝지만 차수 $m$이 커질수록 무늬가 서로 어긋난다. $m\Delta\lambda\approx\lambda$, 즉 경로차가 $\lambda^2/\Delta\lambda$ 근처에 이르면 무늬가 사라진다. 이것이 다음 절의 결맞음 길이다. 아래 시뮬레이터는 마이크로미터 크기의 두 개구 뒤 공간을 호이겐스 원리(점광원 합)로 직접 계산한다. 픽셀 피치와 같은 스케일이다.

SIMULATOR

마이크로 이중 슬릿: 세기 분포와 대역폭에 의한 무늬 소멸

슬릿 간격 d 슬릿 폭 a 중심 파장 λ 스펙트럼 폭 Δλ (FWHM) 스크린 거리 L

무늬 주기 Λ = λL/d—

중앙 가시도—

보이는 차수 ≈ λ/Δλ—

결맞음 길이 λ²/Δλ—

해볼 것: ① Δλ = 0에서 d를 줄이면 무늬가 넓어진다(Λ ∝ 1/d). ② Δλ를 100 nm(컬러 필터를 통과한 백색광 정도)로 올리면 중앙 몇 개의 무늬만 남는다. 250 nm(백색광)에서는 중앙 1~2개뿐이다. ③ 슬릿 폭 a를 키우면 포락선이 좁아져 무늬 개수가 줄어든다. 위쪽 그림은 개구 바로 뒤 근접장부터 쌍곡선 모양의 무늬가 자라나는 모습이다(길이 단위 µm, 진공 기준).

시간적 결맞음과 마이컬슨 간섭계

마이컬슨 간섭계(Michelson Interferometer)는 빔 분할기로 빛을 둘로 나눈 뒤 두 거울에서 되돌아온 빛을 다시 합친다. 한쪽 거울을 $\Delta z$만큼 움직이면 경로차는 왕복이므로 $\mathrm{OPD}=2\Delta z$가 된다. 검출기 세기를 경로차의 함수로 기록한 것이 인터페로그램(Interferogram)이다.

그림 5-4. 마이컬슨 간섭계. 빔 분할기에서 나뉜 두 빔이 서로 다른 팔을 왕복한 뒤 검출기에서 다시 겹친다. 거울을 $\lambda/4$만 옮겨도 밝음↔어두움이 바뀐다. FTIR 분광기, 백색광 간섭계(WLI), OCT의 기본 구조다.

단색광이면 인터페로그램은 끝없이 이어지는 코사인이다. 그러나 스펙트럼 $S(\nu)$가 폭을 가지면 각 진동수 성분의 코사인이 서로 다른 주기로 겹쳐 경로차가 커질수록 무늬가 흐려진다. 수학적으로 결맞음도는 스펙트럼의 푸리에 변환이다(위너–힌친 정리(Wiener–Khinchin Theorem)).

$$\gamma(\tau) = \frac{\int S(\nu)\,e^{-i2\pi\nu\tau}\,d\nu}{\int S(\nu)\,d\nu},\qquad \tau_c \approx \frac{1}{\Delta\nu},\qquad \ell_c = c\,\tau_c \approx \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}$$

$\tau=\mathrm{OPD}/c$. $\tau_c$는 결맞음 시간, $\ell_c$는 결맞음 길이(Coherence Length). 가우시안 스펙트럼(FWHM $\Delta\lambda$)에서는 $|\gamma|=1/2$가 되는 경로차가 $\frac{2\ln 2}{\pi}\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}\approx0.44\,\lambda^2/\Delta\lambda$이다. 정의(FWHM, 1/e, 적분 폭)에 따라 앞의 상수가 0.3~1 사이로 달라지므로 $\lambda^2/\Delta\lambda$는 '자릿수' 추정으로 쓴다. 매질 안에서는 OPD에 굴절률이 포함된다($\mathrm{OPD}=2nd$).

광원	중심 λ	스펙트럼 폭 Δλ	결맞음 길이 ≈ λ²/Δλ	센서 관점 의미
단일 모드 HeNe·DFB 레이저	633 / 1550 nm	~MHz (≪ 1 pm)	수 m ~ 수백 m	모든 박막·커버 글라스·렌즈 반사가 간섭(스페클, 고스트 무늬)
VCSEL (ToF 광원)	940 nm	~1 nm	~0.9 mm	IR 필터·커버 글라스(0.2~0.3 mm)까지 간섭 가능
모노크로메이터 출력 (QE 측정)	550 nm	5 nm	~60 µm	픽셀 스택 전체(수 µm)가 결맞음 → QE 리플이 보인다
NIR LED	850 nm	~40 nm	~18 µm	실리콘 층(3~6 µm) 내부 다중 반사가 살아 있음
녹색 LED	530 nm	~30 nm	~9 µm	스택 내 간섭 유지, 커버 글라스는 비결맞음
백색광 + G 컬러 필터	535 nm	~100 nm	~3 µm	광학 스택 두께와 같은 자릿수 → 부분 결맞음
햇빛·백색광 (가시 전체)	~550 nm	~300 nm	~1 µm	수백 nm 박막만 뚜렷이 간섭 (비눗방울·산화막 색)

SIMULATOR

마이컬슨 인터페로그램: 스펙트럼 폭 → 결맞음 길이

광원

중심 파장 λ₀ 스펙트럼 폭 Δλ 표시 범위 ±OPD

λ²/Δλ—

가시도 ½ 지점 OPD—

그 안의 무늬 수—

해볼 것: ① LED(30 nm)에서 OPD ±20 µm를 보면 수십 개 무늬 뒤 포락선이 사라진다. ② 백색광은 OPD 0 근처 몇 개의 무늬뿐 — 이 '백색광 무늬'의 위치가 곧 경로차 0이므로, 백색광 간섭계(WLI)는 이것으로 마이크로렌즈 높이·형상을 nm 정밀도로 잰다. ③ Na 이중선(589.0/589.6 nm)은 OPD ≈ 0.58 mm마다 가시도가 사라졌다 되살아나는 맥놀이를 보인다. 무늬가 너무 촘촘하면 포락선(음영)만 그린다.

FTIR와 초분광: 인터페로그램을 푸리에 변환하면 스펙트럼

위너–힌친 정리를 거꾸로 쓰면, OPD를 훑으며 기록한 인터페로그램을 푸리에 변환해 스펙트럼을 얻을 수 있다. 푸리에 변환 분광기(FTIR)와 일부 스냅샷 초분광 카메라가 이 원리를 쓴다. 이때 스펙트럼 분해능은 최대 OPD의 역수 $\Delta\sigma \approx 1/\mathrm{OPD}_{\max}$(파수 단위)로 정해진다. 1 cm 거울 이동이면 약 0.5 cm⁻¹다.

공간적 결맞음과 반 시터르트–제르니케 정리

시간적 결맞음이 '한 점에서 시간을 두고 본 위상 기억'이라면, 공간적 결맞음(Spatial Coherence)은 '같은 순간 옆으로 떨어진 두 점의 위상 관계'다. 크기가 있는 광원은 서로 독립인 점광원의 모음이고, 점광원마다 이중 슬릿 무늬를 조금씩 다른 위치에 만든다. 그 무늬들이 세기로 더해지면서 가시도가 떨어진다.

반 시터르트–제르니케 정리(van Cittert–Zernike Theorem)는 이를 정량화한다. 멀리 있는 비결맞음 준단색 광원의 세기 분포를 $I_s(\boldsymbol\alpha)$(방향 $\boldsymbol\alpha$의 함수)라 하면, 관측면의 두 점(간격 $\mathbf d$) 사이 결맞음도는 광원 세기 분포의 푸리에 변환이다.

$$\mu(\mathbf d) = \frac{\int I_s(\boldsymbol\alpha)\,e^{-i2\pi\,\boldsymbol\alpha\cdot\mathbf d/\lambda}\,d^2\alpha}{\int I_s\,d^2\alpha}\quad\xrightarrow{\text{균일 원판}}\quad \mu(d) = \frac{2J_1(x)}{x},\;\; x=\frac{2\pi\,\mathrm{NA}_s\,d}{\lambda}\approx \frac{\pi\,\theta_s\,d}{\lambda}$$

$\theta_s$는 광원의 각지름, $\mathrm{NA}_s=\sin(\theta_s/2)$. 첫 영점 $x=3.83$에서 결맞음 폭 $d_0 = 1.22\,\lambda/\theta_s = 0.61\,\lambda/\mathrm{NA}_s$. 에어리 패턴(6장)과 같은 함수가 나오는 것은 우연이 아니다 — 둘 다 원판의 푸리에 변환이다.

그림 5-5. 공간적 결맞음. 광원 위쪽 점(실선)과 아래쪽 점(점선)이 만든 이중 슬릿 무늬가 반 주기 어긋나면 서로 메워져 무늬가 사라진다. 그 조건이 대략 $d\,\theta_s\approx\lambda$이다. 광원이 작게 보일수록(멀수록) 결맞음 폭이 넓다.

숫자로 보자. 태양의 각지름은 0.53°(9.3 mrad)이므로 $d_0 = 1.22\times0.55\,\mu\text{m}/0.0093 \approx 72\,\mu$m이고, $|\mu|=0.88$이 되는 거리도 약 19 µm다. 즉 햇빛은 수십 µm 안에서 공간적으로 거의 결맞다. 픽셀(0.6~3 µm)과 광학 스택(1~3 µm)은 이보다 훨씬 작으므로, 맑은 날 직사광에 대해 픽셀 하나 안의 구조들은 결맞게 간섭한다.

그런데 렌즈를 지난 뒤에는 사정이 다르다. 상면에서 보면 빛은 출사동이라는 큰 '광원'에서 온다. 균일하게 밝은 장면을 찍을 때 출사동 각지름은 F/2에서 약 28°에 달하므로 $d_0 = 0.61\lambda/\mathrm{NA}\approx1.22\lambda N = 1.3\,\mu$m로, 상면의 결맞음 폭은 에어리 디스크 반지름 정도다. 인접 픽셀(피치 1 µm 근처)은 부분 결맞음 관계에 있다. 픽셀 시뮬레이션에서 '평면파 하나'만 넣으면 이웃 픽셀 사이 간섭을 과장하게 되는 이유이고, 그래서 FDTD/RCWA 실무에서는 렌즈 원뿔 안의 여러 입사각 결과를 세기로 평균한다(15장).

SIMULATOR

광원 각크기와 결맞음 폭 (반 시터르트–제르니케)

광원 프리셋

광원 각지름 θₛ 두 점 간격 d 파장 λ

결맞음 폭 d₀ (첫 영점)—

|μ(d)| = 무늬 가시도—

d / d₀—

해볼 것: ① 태양에서 d를 픽셀 크기(1 µm)로 두면 |μ| ≈ 1 — 완전 결맞음이다. ② F/2 출사동으로 바꾸면 결맞음 폭이 약 1.3 µm로 줄어 픽셀 피치와 같아진다. ③ d가 d₀를 넘어가면 μ가 음수가 되어 무늬가 반전된다(아래 띠의 밝은·어두운 위치가 바뀐다). 음영 띠는 픽셀 피치 범위(0.56~3 µm)다.

심화: 상면의 상호 세기와 픽셀 크로스토크

렌즈가 비결맞음 물체를 결상할 때 상면의 상호 세기(Mutual Intensity)는 출사동의 세기 분포로 정해지고, 그 폭은 PSF 폭과 같은 $\sim\lambda N$ 규모다. 피치가 $\lambda N$보다 훨씬 큰 픽셀(예: 3 µm, F/2.8)은 서로 독립적으로 빛을 받는다고 봐도 되지만, 0.6~0.8 µm 픽셀에서는 이웃 픽셀의 빛이 부분적으로 결맞아 회절된 빛끼리 간섭한다. 이 때문에 소형 픽셀의 광학 크로스토크는 기하광학 추적만으로는 예측이 어렵고, 파동 해석과 입사각 평균이 필요하다(14장).

다중 빔 간섭: 패브리–페로 공진기

두 개의 평행한 반사면 사이에 빛을 가두면 빛이 여러 번 왕복하며 무한히 많은 빔이 간섭한다. 이것이 패브리–페로 간섭계(Fabry–Perot Interferometer, Etalon)다. 왕복 위상이 $2\pi$의 정수배일 때만 모든 빔이 보강되어 거의 100% 투과하고, 나머지 파장은 강하게 반사된다.

그림 5-6. 패브리–페로 공진기의 다중 반사. 투과 빔들은 등비수열을 이루며, 한 번 왕복할 때마다 위상 $\delta$와 진폭 $R$(세기 기준)을 곱한다. 이 무한급수의 합이 에어리 투과 함수다.

$$T = \frac{1}{1 + \mathcal F\sin^2(\delta/2)},\quad \mathcal F = \frac{4R}{(1-R)^2},\quad \text{피네스 } \mathscr F = \frac{\pi\sqrt R}{1-R},\quad \mathrm{FSR}_\lambda = \frac{\lambda^2}{2nd\cos\theta},\quad \delta\lambda_{\text{FWHM}} = \frac{\mathrm{FSR}_\lambda}{\mathscr F}$$

무손실·대칭 거울 가정. $\mathcal F$는 대비 계수(Coefficient of Finesse), $\mathscr F$는 피네스(Finesse) — 투과 봉우리 간격과 폭의 비. FSR은 자유 스펙트럼 범위(Free Spectral Range). 최소 투과율은 $1/(1+\mathcal F)$. $\theta$는 공진기 안 진행각으로, 입사각이 커지면 $\cos\theta$ 때문에 봉우리가 짧은 파장으로 이동한다(blue shift).

$R$이 작을 때(예: 실리콘–산화막 경계 $R\approx0.2$) 피네스는 1.8 정도로 봉우리가 완만한 '사인형 리플'에 가깝다. 이것이 BSI 센서 실리콘층이 NIR에서 보이는 에탈론 현상(Etaloning)이다. 반면 유전체 다층 미러($R>0.99$)로 만든 공진기는 피네스가 수백에 이르며, ToF용 940 nm 협대역 필터나 분광 센서의 픽셀 단위 FP 필터가 이런 구조다. 이 다층 설계는 11장에서 TMM으로 다룬다.

SIMULATOR

패브리–페로 투과 스펙트럼: 반사율, 간격, 입사각

거울 반사율 R 간격 d

공진기 매질

공진기 안 진행각 θ 확대 중심 λ

피네스 𝓕—

FSR (확대 중심)—

봉우리 FWHM—

최소 투과율—

해볼 것: ① R = 0.2, 매질 Si, d = 3 µm로 두면 BSI 실리콘층의 NIR 에탈론 리플 간격(약 30 nm @850 nm)이 나온다. ② R을 0.95 이상으로 올리면 봉우리가 바늘처럼 좁아진다 — 협대역 필터. ③ 진행각을 올리면 봉우리가 짧은 파장으로 이동한다. 렌즈 CRA 때문에 화면 가장자리에서 간섭 필터 색이 바뀌는 원리다(12장). 아래 그래프는 확대 중심 주변 ±1.5 FSR 확대.

박막 간섭: 비눗방울과 산화막의 색

두께가 수백 nm인 박막 위아래 면에서 반사된 두 빛은 경로차 $2n_f d\cos\theta_t$를 가지고 간섭한다. 각 면에서의 반사 위상(낮은 굴절률→높은 굴절률 반사에서 $\pi$)도 함께 따져야 한다.

$$\Delta\phi = \frac{4\pi n_f d\cos\theta_t}{\lambda} + (\phi_{r,2}-\phi_{r,1}),\qquad \text{SiO}_2/\text{Si: 반사 최소 } 2 n_f d\cos\theta_t = \Big(m+\tfrac12\Big)\lambda$$

$n_f$, $d$는 막의 굴절률·두께, $\theta_t$는 막 안의 굴절각. 공기(1.0)→SiO₂(1.46)→Si(~4)처럼 굴절률이 계속 커지면 두 면 모두 $\pi$ 반사 위상을 가져 상쇄되므로, 경로차만으로 조건이 정해진다. 반사 최소 조건 $m=0$이 바로 1/4 파장 반사 방지막 $n_f d=\lambda/4$이다.

그림 5-7. 실리콘 위 산화막. 윗면 반사 $r_1$과 아랫면 반사 $r_2$가 간섭한다. 두 면 모두 굴절률이 커지는 방향이라 $\pi$ 위상 변화가 상쇄된다. 반사가 줄어든 파장의 빛은 그만큼 실리콘으로 더 들어가 QE가 올라간다.

백색광 아래에서는 파장마다 반사율이 달라 막이 색을 띤다. 실리콘 웨이퍼 위 열산화막은 두께에 따라 갈색(~50 nm) → 보라·남색(~100 nm) → 은청색 → 노랑·주황 → 붉은보라 → 초록 순으로 변하며, 공정 엔지니어들은 이 '산화막 색상표'로 두께를 눈대중했다. 두께가 1 µm를 넘으면 무늬가 촘촘해져 각 색 채널 안에서 평균되므로 색이 엷어진다 — 바로 결맞음 길이(백색광 ~1 µm)의 효과다.

SIMULATOR

실리콘 위 박막의 색 (TMM + CIE 색 맞춤 함수)

막 두께 d

막 재료

관찰 각도

보이는 색—

가시 평균 반사율—

반사 최소 파장들—

해볼 것: ① 위쪽 띠가 두께별 색상표다. SiO₂ 약 100 nm에서 반사 최소가 녹·황색(≈580 nm)에 와서 남보라색이 되는 것을 확인(약 94 nm가 550 nm용 1/4 파장 반사 방지 조건). ② 관찰 각도를 키우면 같은 두께의 색이 짧은 파장 쪽으로 이동한다($\cos\theta_t$ 효과). ③ 1 µm 이상에서는 반사 스펙트럼이 촘촘한 리플이 되고 색이 회색에 가까워진다. 광원은 6500 K 흑체 근사, 비편광.

이미지 센서의 QE 리플

BSI 픽셀의 광학 스택(마이크로렌즈 → 컬러 필터 → 평탄화 산화막 → 반사 방지 HfO₂/Ta₂O₅ → 실리콘)은 박막 간섭의 모음이다. 모노크로메이터로 QE를 측정하면 스펙트럼 위에 잔물결 같은 QE 리플이 얹혀 보이는데, 원인은 크게 두 가지다.

윗쪽 유전체 스택: 수백 nm~수 µm의 산화막·폴리머 층이 만드는 반사 리플. 주기 $\Delta\lambda\approx\lambda^2/(2n_{\text{ox}}d_{\text{ox}})$.
실리콘층 자체: 두께 $t_{\text{Si}}$ 3~6 µm의 실리콘은 위(HfO₂/산화막)와 아래(앞면 BEOL 산화막) 경계 사이에서 약한 FP 공진기가 된다. 가시광은 실리콘에서 다 흡수돼 되돌아오지 못하지만, 흡수 깊이가 10 µm를 넘는 NIR(>~800 nm)에서는 왕복한 빛이 살아남아 $\Delta\lambda\approx\lambda^2/(2n_{\text{Si}}t_{\text{Si}})$ 주기의 강한 리플을 만든다.

측정 대역폭이 리플 주기보다 넓으면 리플은 평균되어 사라진다. 이는 '모노크로메이터 빛의 결맞음 길이 $\lambda^2/\Delta\lambda_{\text{mono}}$가 왕복 광경로 $2nd$보다 짧아졌다'는 말과 같다. 아래 시뮬레이터는 OPT.tmm으로 실리콘층 흡수(내부 QE = 1 가정)를 계산한 뒤 측정 대역폭으로 평균한다.

SIMULATOR

BSI 스택 QE 리플: 산화막·실리콘 두께와 측정 대역폭

상부 SiO₂ 두께 HfO₂ 반사 방지막 실리콘 두께 측정 대역폭 (FWHM)

최상층

단색(완전 결맞음) 계산측정 대역폭으로 평균한 QE반사율 R(평균)

QE @550 nm—

QE @850 nm—

리플 p-p (800–900 nm)—

산화막 리플 주기 @550—

Si 에탈론 주기 @850—

해볼 것: ① 대역폭 0 nm에서 NIR 쪽 큰 리플(Si 에탈론)과 가시 쪽 잔리플(산화막)을 구분해 보라. ② 대역폭을 리플 주기 이상(약 30 nm)으로 올리면 리플이 평균되어 사라진다 — 그러나 평균 QE는 그대로다. ③ HfO₂를 0으로 두면 가시 영역 반사가 크게 늘고 리플 진폭도 커진다. ④ 최상층을 수지로 바꾸면 공기/산화막 경계 반사가 거의 사라져 산화막 리플이 줄어든다(실제 픽셀에서 ML·CF가 이 역할을 한다).

층	대표 두께	n	리플 주기 λ²/(2nd) @550 nm	모노크로메이터(5 nm)로 보이나?	실제 장면광(G 필터, ℓ_c≈3 µm)
반사 방지 HfO₂ / Ta₂O₅	50~70 nm	1.9~2.1	(리플 아님, 단일 극소)	예 (설계된 AR 극소)	결맞음
평탄화·패시베이션 SiO₂	0.2~1 µm	1.46	100~520 nm	예	결맞음
컬러 필터 + 마이크로렌즈	0.5~1.2 µm	1.55~1.65	80~190 nm	예 (굴곡 때문에 약함)	부분 결맞음
실리콘 (BSI, NIR에서)	3~6 µm	3.65 @850	16~33 nm (@850 nm)	예 (NIR)	부분 결맞음, 각도 평균으로 약화
커버 글라스 / IR 컷 필터 기판	0.1~0.3 mm	1.52	0.3~1 nm	아니오 (평균됨)	비결맞음 (세기 합으로 계산)

실무 노트: QE 리플을 읽는 법

① 측정 QE의 리플 주기를 재면 산화막·실리콘 두께를 역산할 수 있다($d = \lambda^2/(2n\,\Delta\lambda)$). 웨이퍼 간 리플 위상이 달라지면 해당 층 두께 산포가 원인이다. ② 리플은 측정 모노크로메이터 대역폭에 따라 진폭이 달라지므로, 사양서의 QE 곡선을 비교할 때는 측정 대역폭을 반드시 확인한다. ③ 실제 카메라 장면은 컬러 필터를 지난 광대역 빛이고 렌즈 원뿔 안 여러 각도가 섞이므로, 측정에서 보이는 리플 진폭이 그대로 영상에 나타나지는 않는다. 다만 협대역 광원(ToF VCSEL, 레이저 구조광, 나트륨등)에서는 리플이 그대로 감도 변동이 되어, 온도에 따른 파장 이동(VCSEL ~0.07 nm/°C)만으로도 신호가 출렁일 수 있다. ④ 시뮬레이션에서는 커버 글라스처럼 두꺼운 층은 반드시 비결맞음(세기) 처리를 해야 가짜 리플을 피한다.

뉴턴 링과 쐐기 간섭: 평탄도와 접합 검사

평면 유리 위에 곡률 반지름 $R$인 볼록 렌즈를 올려놓으면 둘 사이에 두께가 $t(r)\approx r^2/(2R)$로 늘어나는 공기층이 생긴다. 공기층 위아래 반사광의 간섭으로 동심원 무늬가 생기는데 이것이 뉴턴 링(Newton's Rings)이다. 유리→공기 반사와 공기→유리 반사 중 하나만 $\pi$ 위상을 가지므로 접촉점(중심)은 어둡다.

$$2t = m\lambda\;\;(\text{어두운 고리}) \quad\Rightarrow\quad r_m = \sqrt{m\,\lambda R},\qquad \text{쐐기: 무늬 간격 } \Lambda = \frac{\lambda}{2\alpha}$$

$m = 0,1,2,\dots$. 고리 반지름은 $\sqrt m$에 비례해 바깥으로 갈수록 촘촘하다. 두 평면이 작은 각 $\alpha$로 기울어진 쐐기에서는 등간격 직선 무늬가 생긴다. 무늬 한 줄 = 공기층 두께 $\lambda/2$ 변화이므로, 무늬의 굽음으로 표면 높이를 $\lambda/10$ 이하까지 읽을 수 있다.

그림 5-8. 뉴턴 링. 렌즈 아랫면(긴 점선)과 평면 윗면(짧은 점선)에서 반사된 빛이 공기층 두께의 두 배만큼 경로차를 갖는다. 같은 원리로 렌즈 금형·웨이퍼 평탄도를 피조(Fizeau) 간섭계로 검사한다.

SIMULATOR

뉴턴 링: 곡률 반지름, 파장, 백색광

렌즈 곡률 반지름 R 파장 λ

조명

쐐기 기울기 α

1번째 어두운 고리 r₁—

10번째 고리 r₁₀—

고리 1개 = 높이 변화—

해볼 것: ① R을 키우면 고리가 넓어진다($r\propto\sqrt R$). ② 백색광으로 바꾸면 중앙 몇 개의 고리만 색을 띠고 바깥은 흰색으로 평균된다 — 공기층 두께가 결맞음 길이(~1 µm)를 넘기 때문이다. ③ 기울기 α를 넣으면 한쪽이 떠 있는 접합(웨이퍼 본딩 보이드, 필터 접착 불량)처럼 무늬 중심이 이동하고 쐐기 무늬가 섞인다. 화면 폭 6 mm.

센서 공정에서 만나는 간섭 측정

간섭은 '문제'이기도 하지만 가장 정밀한 자이기도 하다. 반사 분광(Reflectometry)으로 산화막·컬러 필터 두께를 nm 단위로 재고, 백색광 간섭계로 마이크로렌즈 높이(0.3~0.9 µm)와 곡률을 매핑하며, 피조 간섭계로 모바일 렌즈 금형의 형상 오차를 λ/20 수준까지 검사한다. 적외선(실리콘이 투명한 1.1 µm 이상) 간섭 무늬는 접합 웨이퍼(적층 센서의 하이브리드 본딩) 사이의 보이드를 찾는 데 쓰인다.

핵심 정리

검출기는 세기 $\langle|E|^2\rangle$를 본다. 결맞는 빛은 진폭이 더해지고($N^2$), 결맞지 않는 빛은 세기가 더해진다($N$).
두 빔 간섭: $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}|\gamma|\cos\delta$. 가시도는 진폭비로 정해지므로 4% 반사도 ±38% 무늬를 만든다.
영의 이중 슬릿 무늬 주기 $\Lambda=\lambda L/d$. 스펙트럼 폭이 있으면 약 $\lambda/\Delta\lambda$개의 무늬만 보인다.
시간적 결맞음: $\gamma(\tau)$는 스펙트럼의 푸리에 변환, 결맞음 길이 $\ell_c\approx\lambda^2/\Delta\lambda$. 백색광 ~1 µm, G 필터 통과광 ~3 µm, 모노크로메이터 5 nm ~60 µm, 레이저 수 mm~수백 m.
공간적 결맞음(반 시터르트–제르니케): 결맞음 폭 $d_0\approx1.22\lambda/\theta_s$. 햇빛 ~72 µm, F/2 렌즈 상면 ~1.3 µm(= PSF 크기) → 소형 픽셀끼리는 부분 결맞음.
패브리–페로: $T=1/(1+\mathcal F\sin^2(\delta/2))$, FSR $=\lambda^2/(2nd\cos\theta)$, 피네스 $\pi\sqrt R/(1-R)$. 입사각이 커지면 봉우리가 짧은 파장으로 이동한다.
박막 색과 반사 방지는 같은 현상이다. SiO₂/Si에서 $2n_fd=(m+\frac12)\lambda$이면 반사 최소.
BSI 센서 QE 리플은 상부 산화막과 실리콘 에탈론(NIR)에서 오며, 측정 대역폭이 리플 주기보다 넓으면 평균되어 사라진다. 협대역 광원 응용에서는 실제 감도 변동이 된다.
뉴턴 링·쐐기 무늬: 무늬 한 줄 = 두께 $\lambda/2$. 간섭은 박막 두께, 마이크로렌즈 형상, 렌즈 금형, 웨이퍼 접합 검사의 기본 도구다.

확인 퀴즈

Q1. 같은 세기 $I_0$의 두 결맞는 빔이 위상차 $\pi/2$로 만났다. 합쳐진 세기는?

$I = 2I_0(1+\cos\Delta\phi)$에서 $\cos(\pi/2)=0$이므로 $2I_0$. 간섭항이 0인 지점에서는 결맞지 않는 합과 같다.

Q2. 한 빔 세기가 다른 빔의 1%뿐이다($I_2/I_1=0.01$), 완전 결맞음일 때 간섭무늬의 가시도는 대략?

$\mathcal V = 2\sqrt{0.01}/(1+0.01) = 0.198$. 진폭비가 0.1이므로 세기는 $(1\pm0.1)^2$, 즉 ±20% 흔들린다. 약한 반사가 의외로 큰 무늬를 만드는 이유다.

Q3. 중심 850 nm, 스펙트럼 폭 40 nm인 NIR LED의 결맞음 길이 자릿수는?

$\lambda^2/\Delta\lambda = 850^2/40 \approx 18\,000$ nm = 18 µm. 실리콘층 3 µm의 왕복 광경로 $2\times3.65\times3\approx22$ µm와 비슷하므로 에탈론 리플이 부분적으로 남는다.

Q4. 태양(각지름 0.53°)을 직접 비출 때, 550 nm에서 공간적 결맞음 폭(첫 영점)은 대략?

$d_0 = 1.22\lambda/\theta_s = 1.22\times0.55/0.00925 \approx 72$ µm. 픽셀·광학 스택 크기(수 µm)보다 훨씬 크므로 직사광은 픽셀 안에서 결맞게 간섭한다.

Q5. 균일하게 밝은 장면을 F/2.0 렌즈로 찍을 때 상면에서의 결맞음 폭이 약 1.3 µm(550 nm)인 이유로 가장 적절한 것은?

반 시터르트–제르니케 정리에서 결맞음 폭은 광원 각크기에 반비례한다. 출사동이 NA≈0.24로 보이면 $d_0 = 0.61\lambda/\mathrm{NA}\approx1.4$ µm ≈ $1.22\lambda N$. PSF 크기와 같은 규모다.

Q6. 거울 반사율 R = 0.9인 패브리–페로의 피네스와, FSR이 10 nm일 때 봉우리 FWHM은?

$\mathscr F = \pi\sqrt{0.9}/(1-0.9) = 29.8$. FWHM = FSR/𝓕 = 10/29.8 ≈ 0.34 nm.

Q7. 실리콘 위 SiO₂ 막에서 550 nm 반사가 가장 작아지는 가장 얇은 두께는? (n = 1.46)

두 면 모두 $\pi$ 반사 위상이므로 $2n d = \lambda/2$ → $d = \lambda/(4n) = 550/5.84 \approx 94$ nm. 1/4 파장 반사 방지막 조건이다.

Q8. 두께 4 µm BSI 실리콘(n ≈ 3.65 @850 nm)의 에탈론 리플 주기는? 이를 없애려면 QE 측정 대역폭을 어떻게 해야 할까?

$\Delta\lambda = \lambda^2/(2nt) = 850^2/(2\times3.65\times4000) \approx 24.7$ nm. 측정 대역폭이 이보다 넓으면 한 측정점 안에서 리플 여러 주기가 평균된다. 반대로 대역폭을 좁히면 리플이 더 선명하게 보인다.

Q9. 커버 글라스(0.3 mm)를 포함한 센서 모듈의 백색광 응답을 TMM으로 계산할 때 올바른 처리는?

0.3 mm 유리의 리플 주기는 550 nm에서 약 0.33 nm로, 어떤 실제 광원·측정 대역폭에서도 평균된다. 결맞음 TMM으로 계산하면 존재하지 않는 촘촘한 리플이 나오므로, 두꺼운 층은 세기 기반(비결맞음) 처리를 한다. 4% 반사도 가시도 0.38의 리플을 만들기 때문에 무시하면 안 된다.