Chapter 11

박막 광학과 TMM

이미지 센서의 빛은 렌즈를 나온 뒤 실리콘에 닿기까지 수십 개의 얇은 막을 지난다. IR 컷 필터의 30~40층 유전체 코팅, 커버 글라스의 반사 방지막, 마이크로렌즈 아래의 평탄화 산화막, 그리고 실리콘 바로 위의 HfO₂/Ta₂O₅ 반사 방지 스택이다. 이 장에서는 이 모든 것을 하나의 도구, 전달 행렬법(Transfer Matrix Method, TMM)으로 계산한다. 2×2 행렬 곱 몇 번으로 반사율·투과율·흡수율, 그리고 실리콘 안 어느 깊이에서 빛이 흡수되는지까지 정확히 얻을 수 있다.

단일 박막의 반사를 두 빔 간섭으로 이해하고, 1/4 파장 반사 방지 조건 $n_1=\sqrt{n_0 n_s}$를 유도한다.
경계면에서 접선 성분 E, H의 연속 조건으로부터 한 층의 특성 행렬을 유도하고, 어드미턴스 궤적으로 다층막을 '읽는다'.
임의의 다층 스택의 R/T/A 스펙트럼을 TMM으로 계산하고, s/p 편광과 입사각 효과를 다룬다.
브래그 미러의 최대 반사율과 저지 대역 폭을 공식으로 추정하고, IR 컷 필터가 기울어진 광선에서 짧은 파장으로 이동해 색 쉐이딩을 만드는 이유를 설명한다.
BSI 실리콘 위 반사 방지 스택을 설계해 반사를 20~35%에서 5% 아래로 낮추고, 깊이별 흡수 분포와 공정 두께 공차의 영향을 정량화한다.

단일 박막과 1/4 파장 반사 방지

굴절률 $n_0$인 매질에서 $n_s$인 기판으로 수직 입사하는 빛은 $R=\big(\frac{n_0-n_s}{n_0+n_s}\big)^2$만큼 반사된다(10장). 유리($n_s\approx1.52$)는 한 면에 4.3%, 실리콘($n_s\approx4.08$ @550 nm)은 무려 37%다. BSI 센서에서 빛은 공기가 아니라 산화막($n\approx1.46$)에서 실리콘으로 들어가지만 그래도 22%가 반사된다. 픽셀 감도의 1/5이 첫 경계면에서 사라지는 셈이다.

기판 위에 굴절률 $n_1$, 두께 $d$의 막을 한 겹 올리면 반사파가 두 개 생긴다. 막 윗면에서 반사된 $r_{01}$과, 막을 왕복한 뒤 나오는 $r_{1s}$다. 두 반사파의 위상차는

$$\Delta\phi = 2\delta = \frac{4\pi n_1 d\cos\theta_1}{\lambda} \quad(+\ \text{경계면 반사 위상 차이})$$

$\delta = 2\pi n_1 d\cos\theta_1/\lambda$는 막을 한 번 지날 때의 위상 두께(Phase Thickness), $\theta_1$은 막 안의 굴절각이다. \(n_0

$n_1 d=\lambda_0/4$(1/4 파장 막, Quarter-Wave Layer)이면 왕복 위상이 $\pi$라 두 반사파가 서로 반대 위상이 된다. 다중 반사까지 모두 합한 정확한 결과(2절의 특성 행렬)는

$$R(\lambda_0) = \left(\frac{n_0 n_s - n_1^2}{n_0 n_s + n_1^2}\right)^2 \quad\Rightarrow\quad R=0 \iff n_1 = \sqrt{n_0\,n_s},\qquad d = \frac{\lambda_0}{4n_1}$$

1/4 파장 막은 기판 어드미턴스 $n_s$를 $n_1^2/n_s$로 '변환'한다(2절). 변환된 값이 입사 매질 $n_0$와 같아지면 반사가 0이다. 마이크로파의 $\lambda/4$ 임피던스 변환기와 똑같은 원리다.

숫자로 보자. 유리(1.52)에 공기 입사면 이상적 $n_1=1.23$인데 이런 단단한 재료는 없어서, 가장 가까운 MgF₂(1.38)를 쓰면 550 nm 반사가 4.3%에서 1.3% 정도로 줄어든다. 실리콘에 공기 입사면 $n_1=\sqrt{4.08}=2.02$로 Si₃N₄(2.05)가 거의 완벽하다. 태양전지의 푸르스름한 질화막이 바로 이것이다. BSI 센서처럼 산화막 입사면 $n_1=\sqrt{1.46\times4.08}=2.44$로 TiO₂나 Ta₂O₅(2.14) 급의 고굴절 재료가 필요하다. 그래서 센서 업계의 반사 방지막이 HfO₂·Ta₂O₅ 같은 고유전율 산화물이다.

그림 11-1. 단일 박막의 반사. 윗면 반사(보라)와 막을 왕복한 반사(주황)가 $2\delta=\pi$에서 반대 위상이 된다. 두 반사의 크기까지 같으면($r_{01}=r_{1s}$, 즉 $n_1^2=n_0n_s$) 완전히 상쇄된다. 실제로는 막 안의 다중 반사가 더해지지만 결론은 같다.

SIMULATOR

단일층 반사 방지: 굴절률과 두께를 맞춰라

입사 / 기판

막 굴절률 n₁ 설계 파장 λ₀ (d = λ₀/4n₁) 두께 배수 (×λ₀/4n₁)

막 두께 d—

이상적 n₁ = √(n₀nₛ)—

R(λ₀) 공식 / TMM—

가시광 평균 R (맨 기판)—

해볼 것: ① '공기/Si'에서 n₁ = 1.46(SiO₂)은 37% → 10% 남짓까지만 줄지만, n₁ ≈ 2.02(Si₃N₄)로 올리면 λ₀에서 거의 0이 된다. ② '산화막/Si'로 바꾸면 SiO₂ 막은 아무 효과가 없고(같은 재료), 2.4 이상이 필요하다. ③ 두께 배수를 3, 5로 올리면(3/4, 5/4 파장 막) λ₀에서는 여전히 최소지만 V자 골이 좁아져 대역이 줄어든다. 실리콘은 분산(n이 400 nm에서 5.6, 1000 nm에서 3.6)이 커서 한 층으로는 전 대역을 덮을 수 없다.

특성 행렬: 한 층을 2×2 행렬로

층이 두 개, 세 개로 늘면 반사파를 하나씩 더하는 방식은 금방 감당이 안 된다. 대신 경계면에서 연속인 양에 주목하자. 맥스웰 방정식의 경계 조건에 따라 전기장과 자기장의 접선 성분 $E_\parallel, H_\parallel$은 경계면을 지나도 연속이다. 그러므로 한 층의 윗면 $(E_a,H_a)$와 아랫면 $(E_b,H_b)$을 잇는 관계만 알면, 층을 쌓는 일은 그 관계를 차례로 곱하는 일이 된다.

층 안의 장은 정방향파와 역방향파의 합이다. 이 책의 규약($e^{i(kz-\omega t)}$, $\tilde n=n+ik$)에서 층 윗면을 $z=0$으로 두면

$$E(z) = A e^{ik_z z} + B e^{-ik_z z},\qquad H(z) = \eta\,\big(A e^{ik_z z} - B e^{-ik_z z}\big)$$

$k_z = 2\pi \tilde n\cos\theta/\lambda$. $H$는 자유 공간 어드미턴스 $\sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}$ 단위로 잰 접선 자기장이고, $\eta$는 층의 광학 어드미턴스(Optical Admittance)로 수직 입사에서 $\eta=\tilde n$이다. 비스듬한 입사에서는 s 편광 $\eta_s=\tilde n\cos\theta$, p 편광 $\eta_p=\tilde n/\cos\theta$를 쓴다(기울어진 어드미턴스, Tilted Admittance).

$z=0$과 $z=d$에서의 $(E,H)$를 쓰고 $A,B$를 소거하면, 윗면의 장이 아랫면의 장으로 표현된다.

$$\begin{bmatrix}E_a\\ H_a\end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix}\cos\delta & -\dfrac{i}{\eta}\sin\delta\\[4pt] -i\eta\sin\delta & \cos\delta\end{bmatrix}}_{M(\delta,\,\eta)} \begin{bmatrix}E_b\\ H_b\end{bmatrix},\qquad \delta = \frac{2\pi\,\tilde n\,d\cos\theta}{\lambda}$$

$M$을 이 층의 특성 행렬(Characteristic Matrix)이라 한다. 무손실층에서 $\det M = \cos^2\delta+\sin^2\delta = 1$. Macleod 등 박막 교재는 $\tilde n=n-ik$ 규약을 써서 비대각 항의 부호가 $+i$이지만, 계산되는 R, T, A는 같다.

층이 $q$개면 행렬을 위에서부터 곱하고, 맨 아래 기판(반무한, 역방향파 없음)에서는 $H=\eta_s E$이므로 $E=1$로 정규화한다.

$$\begin{bmatrix}B\\ C\end{bmatrix} = M_1 M_2\cdots M_q \begin{bmatrix}1\\ \eta_s\end{bmatrix},\qquad Y=\frac{C}{B},\qquad r=\frac{\eta_0-Y}{\eta_0+Y},\qquad R=|r|^2$$

$Y$는 스택 전체를 맨 윗면에서 본 등가 어드미턴스(Equivalent Admittance)다. 스택 전체가 굴절률 $Y$인 기판 하나처럼 행동한다는 뜻이다. 투과율은 $T = 4\eta_0\,\mathrm{Re}(\eta_s)/|\eta_0 B+C|^2$, 흡수율은 $A=1-R-T$.

1/4 파장 층($\delta=\pi/2$)을 넣어 보면 $M=\begin{bmatrix}0&-i/\eta\\-i\eta&0\end{bmatrix}$이고 $Y=\eta^2/\eta_s$가 된다. 1절의 결과가 그대로 나온다. 1/2 파장 층($\delta=\pi$)은 $M=-I$로, 그 파장에서는 없는 것과 같다(Absentee Layer). 반 파장 층이 설계 파장에서는 아무 일도 하지 않지만 다른 파장에서는 스펙트럼 모양을 바꾸기 때문에, 광대역 설계에서 '조정 손잡이'로 자주 쓰인다.

그림 11-2. 접선 장 $(E,H)$은 각 경계면에서 연속이므로, 층마다 '아랫면 → 윗면' 전달 행렬 $M_j$를 곱하며 기판에서 입사면까지 거슬러 올라간다. 마지막에 얻은 $Y=C/B$가 스택 전체의 등가 어드미턴스다.

특성 행렬의 진가는 어드미턴스 궤적(Admittance Locus)에서 드러난다. 기판 $\eta_s$에서 출발해 층 두께를 0부터 조금씩 키우면 $Y$가 복소 평면에 곡선을 그린다. 무손실 유전체층의 궤적은 실수축 위에 중심을 둔 원이며, 1/4 파장 두께에서 실수축의 반대쪽 $\eta^2/Y_\text{start}$에 도착한다. 흡수층(금속)은 원이 아니라 나선을 그린다. 반사 방지 설계란 마지막 궤적이 입사 매질 $\eta_0$ 점에서 끝나도록 원호를 이어 붙이는 퍼즐이다. $\eta_0$을 중심으로 한 등반사율 원($R$=1%, 5%, 20%) 안쪽으로 끝점을 가져오면 된다.

SIMULATOR

어드미턴스 궤적: 특성 행렬을 눈으로 보기

입사 / 기판

파장 λ 층 A (기판 쪽) 층 A 두께 층 B 층 B 두께 층 C (입사 쪽) 층 C 두께

등가 어드미턴스 Y—

R (특성 행렬)—

R (OPT.tmm 교차 확인)—

위상 두께 δ/(π/2): A · B · C—

해볼 것: ① 층 A만 Si₃N₄로 두고 두께를 0→70 nm로 키우면 궤적이 반원을 그리며 η₀ = 1 근처에 도달한다(1/4 파장). ② 층 A를 SiO₂로 바꾸면 원이 작아져 η₀까지 못 간다 — 굴절률이 낮은 막은 '변환 폭'이 작다. ③ '산화막/Si'에서는 HfO₂ 10 nm(짧은 호) + Ta₂O₅ 52 nm(큰 호)로 끝점이 η₀ = 1.46 근처의 R < 2% 원 안에 들어간다. ④ 파장을 바꾸면 같은 두께라도 호의 길이(δ ∝ 1/λ)가 달라져 끝점이 빗나간다 — 대역폭의 한계를 보여 준다. 이 책의 $n+ik$ 규약에서 유전체 궤적은 반시계 방향으로 돈다(Macleod 교재의 $n-ik$ 그림과는 상하 대칭).

다층 TMM: 스택 빌더

2절의 특성 행렬은 장의 합 $(E,H)$를 다루었다. 수치 계산에서는 정방향·역방향 진폭 $(v_j,w_j)$를 직접 전달하는 형식이 더 편해서, OPT 라이브러리의 OPT.tmm은 Byrnes의 공개 tmm 패키지와 같은 방식을 쓴다. 경계면 $j\to j+1$의 프레넬 계수 $r_{j,j+1}, t_{j,j+1}$과 층 안 전파 위상 $\delta_j$로

$$\begin{bmatrix}v_j\\ w_j\end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix}e^{-i\delta_j}&0\\0&e^{i\delta_j}\end{bmatrix}}_{\text{전파}} \underbrace{\frac{1}{t_{j,j+1}}\begin{bmatrix}1&r_{j,j+1}\\ r_{j,j+1}&1\end{bmatrix}}_{\text{경계면}} \begin{bmatrix}v_{j+1}\\ w_{j+1}\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix}1\\ r\end{bmatrix} = \tilde M \begin{bmatrix}t\\ 0\end{bmatrix}$$

맨 아래 기판에는 역방향파가 없으므로 $w_{N}=0$. 전체 행렬 $\tilde M=\prod$에서 $t = 1/\tilde M_{11}$, $r=\tilde M_{21}/\tilde M_{11}$. 투과율은 매질 차이를 보정해 $T=|t|^2\,\mathrm{Re}(\tilde n_s\cos\theta_s)/\mathrm{Re}(n_0\cos\theta_0)$ (s 편광). 각 층의 $(v_j,w_j)$를 알기 때문에 층별 흡수, 깊이별 흡수, $|E|^2$ 분포도 바로 얻는다(7절).

계산 비용은 층 수 $N$과 파장 점 수에 정비례한다. 40층 IR 컷 필터의 스펙트럼 200점도 브라우저에서 수 ms다. 그래서 TMM은 수십 개 층의 최적화, 몬테카를로 공차 분석, 각도·편광 스캔을 모두 '실시간'으로 할 수 있는 유일한 엄밀 해법이다. 한계는 모든 층이 가로로 무한히 균일하다는 가정이다. 마이크로렌즈, 컬러 필터 경계, DTI처럼 픽셀 크기로 패턴된 구조는 RCWA·FDTD(15장)가 필요하다.

재료	450 nm	550 nm	850 nm	센서·필터에서의 용도
MgF₂	1.387	1.382	1.375	커버 글라스·렌즈 단층 AR, 저굴절 끝층
SiO₂	1.466	1.460	1.452	저굴절(L) 층, 평탄화·층간 절연막
Al₂O₃	1.655	1.643	1.630	Si 패시베이션(음전하), 중간 굴절률
HfO₂	1.971	1.941	1.906	BSI 표면 음전하 층 + AR, ALD 증착
Si₃N₄	2.079	2.052	2.021	공기/Si AR, 패시베이션, 광 도파 코어
Ta₂O₅	2.183	2.143	2.095	BSI AR 주층, 고굴절(H) 층
TiO₂	2.546	2.448	2.333	IR 컷·이색 필터의 H층 (청색 쪽 흡수 시작)
Si (c-Si)	4.67 + 0.091i	4.08 + 0.028i	3.66 + 0.004i	기판·흡수층 (흡수 깊이 0.39 / 1.6 / 19 µm)

표: OPT.MATERIALS의 분산 모델 값(교육용 근사). 실제 증착막은 공정(PVD, ALD, 이온 보조 증착)과 밀도에 따라 굴절률이 ±0.02~0.05 달라진다.

SIMULATOR

TMM 스택 빌더: R / T / A 스펙트럼 (350–1100 nm)

프리셋

입사 매질 → 기판

층 (위 = 입사 쪽, 두께 nm)

입사각 θ₀

편광

가시광 평균 R (420–680)—

R / T / A @ 550 nm—

층 수 · 총 두께—

계산 시간—

해볼 것: ① 'BSI AR'에서 입사각을 0→40°로 키우고 s와 p를 비교 — p 편광은 브루스터 효과로 오히려 반사가 줄어든다. ② '브래그 미러'에 층을 더 넣으면 저지 대역이 더 각지고(R→1), 측대역 리플 개수가 늘어난다. ③ 'Al 반사막'의 A 곡선은 금속 흡수(약 8~10%)다. 유전체 미러와 달리 넓은 대역에서 반사하지만 손실이 있다. ④ '패브리–페로'에서 가운데 공진층(SiO₂ 약 324 nm, 반 파장)의 두께를 10 nm 바꿔 보라 — 폭 9 nm의 투과 봉우리가 약 11 nm 이동한다. 층 위 숫자 칸에 직접 두께를 입력할 수 있고, 위쪽 줄이 입사 쪽이다.

TMM 결과를 믿기 전에 확인할 세 가지

① 에너지 보존: 무손실 스택이면 $R+T=1$이어야 한다. 0.999가 아니면 투과율 정의(기판 굴절률·각도 보정)를 의심하라. ② 극한: 두께 0이면 맨 기판의 프레넬 반사, 1/2 파장이면 층이 없는 것과 같아야 한다. ③ 규약: $n+ik$인지 $n-ik$인지, 층 순서가 입사 쪽부터인지 기판 쪽부터인지. 상용 툴(Essential Macleod, OptiLayer, TFCalc)과 사내 코드를 비교할 때 가장 흔한 불일치 원인이다.

브래그 미러와 유전체 고반사막

고굴절(H)과 저굴절(L) 1/4 파장 층을 번갈아 쌓으면 각 경계면의 반사파가 설계 파장 $\lambda_0$에서 모두 같은 위상으로 돌아온다. H→L 경계 반사는 위상 0, L→H 경계 반사는 위상 $\pi$인데, 그 사이를 1/4 파장 층이 왕복하며 $\pi$를 더해 주기 때문이다. 반사가 보강 간섭으로 누적되어 흡수 없는 유전체만으로 99.9% 이상의 거울이 된다. 이것이 브래그 미러(Bragg Mirror, Distributed Bragg Reflector)이며, 결정의 X선 브래그 반사, VCSEL의 공진기 거울, 그리고 IR 컷 필터의 기본 단위다.

$$R_{\max} = \left(\frac{n_0 - Y}{n_0 + Y}\right)^2,\qquad Y = \left(\frac{n_H}{n_L}\right)^{2N}\frac{n_H^2}{n_s}\qquad[\;\text{구조: }(HL)^N H\;]$$

1/4 파장 층마다 어드미턴스가 $\eta\to\eta_j^2/\eta$로 변환되므로 HL 한 쌍은 $(n_H/n_L)^2$배를 곱한다. TiO₂/SiO₂(2.45/1.46)는 한 쌍에 2.8배, $N=6$이면 $R>99.7\%$다. 굴절률 대비가 작은 Si₃N₄/SiO₂(2.05/1.46, 쌍당 1.97배)는 같은 반사에 층이 1.5배 이상 필요하다.

반사가 높은 파장 범위, 즉 저지 대역(Stopband)의 폭은 굴절률 대비만으로 정해진다. 파수 $g=\lambda_0/\lambda$로 쓰면 저지 대역은 $g=1$을 중심으로 대칭이다.

$$\Delta g = \frac{4}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{n_H-n_L}{n_H+n_L}\right),\qquad \lambda_\text{edge} = \frac{\lambda_0}{1\pm\Delta g/2}$$

TiO₂/SiO₂에서 $\Delta g=0.326$: $\lambda_0=550$ nm면 저지 대역 약 473~657 nm(폭 184 nm). 층 수를 늘리면 대역 안의 반사가 1에 가까워지고 가장자리가 가팔라질 뿐 폭은 거의 그대로다. 넓은 대역(예: 700~1100 nm 전체)을 막으려면 $\lambda_0$이 다른 스택을 여러 개 이어 붙인다(5절). 홀수 배 $g=3,5,\ldots$($\lambda_0/3$ 등)에도 고차 저지 대역이 생긴다.

그림 11-3. 브래그 미러. 왼쪽: 1/4 파장 H/L 층의 모든 경계면 반사가 같은 위상으로 더해진다. 오른쪽: 반사 스펙트럼은 $g=\lambda_0/\lambda$ 축에서 대칭인 사각형 저지 대역과 양옆의 측대역 리플(Side Lobe)로 이루어진다. 리플 개수는 층 수와 함께 늘어난다.

SIMULATOR

브래그 미러: 층 수, 굴절률 대비, 저지 대역

H / L 재료

HL 쌍의 수 N 설계 파장 λ₀ 입사각 θ₀ (공기)

표시 축

R(λ₀) TMM / 공식—

저지 대역 (공식)—

R>50% 폭 (TMM)—

층 수 · 두께—

해볼 것: ① N을 2 → 10으로 올려도 회색 띠(공식 저지 대역)의 폭은 그대로이고 R만 1에 붙는다. ② Si₃N₄/SiO₂로 바꾸면 띠가 절반 가까이로 좁아진다 — VCSEL처럼 대비가 작은 재료(AlGaAs/GaAs)는 수십 쌍이 필요하다. ③ 입사각을 키우면 저지 대역 전체가 짧은 파장으로 이동하고 s(실선)와 p(점선)의 가장자리가 갈라진다. ④ 'g 축'(g = 0.2~3.4)으로 보면 스펙트럼이 g = 1을 중심으로 대칭이고, g = 3에 3차 저지 대역이 있지만 g = 2에는 없다 — 1/4 파장 스택에서는 짝수 차수가 사라진다(H와 L의 광학 두께가 같을 때). 분산 때문에 고차 대역은 약간 어긋난다.

IR 컷 필터: 30~40층 에지 필터와 각도 청색 이동

실리콘은 1100 nm까지 빛을 흡수하고 컬러 필터 안료는 780 nm 이상에서 R·G·B 모두 다시 투명해진다(14장). 근적외선을 막지 않으면 모든 채널에 같은 IR 신호가 더해져 색이 탁해지고 화이트 밸런스가 무너진다. 그래서 가시광 카메라 모듈에는 렌즈와 센서 사이에 IR 컷 필터(IR-Cut Filter, IRCF)가 들어간다. 요구 조건은 까다롭다. 420~620 nm 투과 >90%, 650 nm 근처에서 수십 nm 안에 50% → 1% 미만으로 떨어지는 가파른 에지, 그리고 700~1100 nm 전 영역에서 투과 <1%.

4절의 브래그 미러 하나는 저지 대역 폭이 약 0.33λ₀라 700~1100 nm를 다 덮지 못한다. 그래서 $\lambda_0$이 다른 스택 둘 이상을 직렬로 잇는다. 또 그냥 (HL)ᴺ이 아니라 양 끝을 반 층으로 대칭화한 $(\tfrac L2\,H\,\tfrac L2)^N$ 구조를 써서 통과 대역(가시광 쪽)의 리플을 줄인다. 이를 단파장 통과 에지 필터(Short-Wave Pass, SWP)라 한다. 아래 시뮬레이터의 필터는 $\lambda_0=760$ nm와 940 nm인 $(\tfrac L2 H\tfrac L2)^8$ 두 개를 이은 TiO₂/SiO₂ 33층(약 3.9 µm)에서 출발해, 통과 대역 리플과 저지 대역 투과가 작아지도록 층 두께를 좌표 하강으로 다듬은 설계다. 두께가 규칙적인 앞쪽 스택과 뒤쪽 스택, 그리고 양 끝의 정합층(Matching Layer)이 보인다. 실제 제품도 이렇게 수치 최적화(니들법, 경사 하강)를 거치며 40~60층에 이르기도 한다.

간섭 필터의 아킬레스건은 입사각이다. 비스듬히 들어온 빛은 층 안의 위상 두께가 $\delta=2\pi n d\cos\theta_j/\lambda$로 줄어들기 때문에, 모든 특징이 짧은 파장 쪽으로 이동한다(청색 이동(Blue Shift)).

$$\lambda_\text{edge}(\theta) \approx \lambda_\text{edge}(0)\sqrt{1-\frac{\sin^2\theta}{n_\text{eff}^2}}$$

$\theta$는 공기 중 입사각, $n_\text{eff}$는 스택의 유효 굴절률로 TiO₂/SiO₂ 에지 필터에서 약 1.7~1.9. 아래 33층 설계의 TMM 결과(0° 653 nm → 30° 628 nm)를 맞추면 $n_\text{eff}\approx1.8$이다. 편광에 따라 s, p의 에지가 갈라지므로 비편광 투과는 에지가 약간 완만해진다.

그림 11-4. 모바일 카메라에서 IR 컷 필터에 닿는 광선의 각도는 화면 중심 0°에서 가장자리 CRA 30~38°까지 변한다. 간섭형 필터의 컷오프 에지가 가장자리에서 20~30 nm 짧아지므로, 적색 채널 신호가 가장자리에서 줄어 영상 모서리가 청록색으로 물드는 색 쉐이딩(Color Shading)이 생긴다(12장).

SIMULATOR

33층 IR 컷 필터: 각도 이동과 R/G 색 쉐이딩

입사각 (CRA) θ

필터 종류

편광

광원 색온도

50% 에지 0° → θ—

공식 (n_eff=1.8)—

R 신호 (0° 대비)—

R/G 비 변화—

해볼 것: ① θ를 0 → 35°로 올리며 에지가 왼쪽으로 이동하는 것과, 아래 그래프에서 R 채널 상대 신호가 떨어지는 것을 보라(G·B는 거의 그대로). ② '하이브리드'로 바꾸면 블루 글라스(흡수형, 각도에 무관)가 650~700 nm를 먼저 깎아 주므로 간섭 에지를 700 nm 쪽으로 밀어 둘 수 있어, 같은 각도에서 R/G 변화가 크게 줄어든다. ③ 색온도를 낮추면(백열등 2800 K) 적색 비중이 커져 쉐이딩이 더 두드러진다. 렌즈 쉐이딩 보정(LSC)이 광원별로 다른 보정 테이블을 갖는 이유다.

IR 차단 방식	구조	50% 에지의 각도 이동 (0→30°)	장점	단점
간섭형 (반사형)	유리 또는 수지 기판 + TiO₂/SiO₂ 30~60층	−20 ~ −30 nm	가파른 에지, 높은 투과, 저가	색 쉐이딩, 반사광 → 고스트·플레어 (16장)
흡수형 (블루 글라스)	Cu²⁺ 인산염 유리 0.2~0.3 mm	≈ 0 (경로 길이만 1/cos)	각도 무관, 반사 적음	완만한 에지, 두껍고 깨지기 쉬움, 습기에 약함
하이브리드	블루 글라스/흡수 염료 + 간섭 코팅	−3 ~ −8 nm (실효)	쉐이딩·플레어 모두 감소	원가, 두께
온칩 IR 차단	센서 위 IR 흡수 유기막 또는 다층막	설계에 따라	모듈 높이 감소	공정 통합, 신뢰성, RGB-IR과 상충

BSI 실리콘 위 반사 방지 스택

BSI 픽셀에서 빛이 실리콘에 들어가는 마지막 관문은 실리콘 뒷면(빛이 들어오는 면)의 박막 스택이다. 이 스택은 광학과 전기 두 가지 일을 한다. 실리콘 바로 위의 얇은 HfO₂ 또는 Al₂O₃(ALD, 수 nm)는 막 안의 고정 음전하로 표면에 정공 축적층을 만들어 계면 결함에서 나오는 암전류를 막는다(SensorBook 픽셀 장). 그 위의 Ta₂O₅(또는 두꺼운 HfO₂) 수십 nm가 반사 방지의 주역이고, 그 위를 SiO₂가 덮고 컬러 필터가 올라간다.

그림 11-5. BSI 픽셀의 광학 스택(비례 아님). 컬러 필터 아래 산화막과 고유전율 막이 실리콘 반사 방지 스택을 이룬다. 수직 방향으로는 TMM이 정확하고, 가로 방향 구조(그리드, DTI, 렌즈)가 픽셀 크기와 비슷해지면 RCWA·FDTD가 필요하다.

입사 매질이 산화막(1.46)이라는 점이 공기 중 태양전지와 다르다. 1절의 결과대로 이상적인 단층 굴절률은 2.44로, 쓸 수 있는 재료 중 Ta₂O₅(2.14)가 가장 가깝다. 단층 Ta₂O₅만으로 가시광 평균 반사는 23% → 약 4%로 떨어진다. HfO₂ 패시베이션층은 굴절률이 Ta₂O₅와 실리콘 사이라서 몇 nm는 광학적으로 거의 해가 없다. 두 층 이상이 되면 특정 파장 하나가 아니라 대역 전체를 평평하게 누를 수 있다. 아래 시뮬레이터의 '자동 최적화'는 좌표 하강(Coordinate Descent)으로 선택한 대역의 평균 반사를 최소화한다.

SIMULATOR

BSI 반사 방지 스택 최적화 (HfO₂ / Ta₂O₅ / SiO₂ on Si)

입사 매질

HfO₂ (Si 바로 위) Ta₂O₅ SiO₂ (입사 쪽 위, 공기 입사일 때 유효)

최적화 목표 대역

목표 대역 평균 R—

맨 Si 대비—

R @ 450 / 550 / 650—

R @ 940 nm—

해볼 것: ① 처음은 맨 실리콘(산화막 입사 R ≈ 22%, 공기 입사 ≈ 37%)이다. Ta₂O₅만 50~60 nm로 올려 반사가 얼마나 떨어지는지 보라. ② '자동 최적화'를 누르면 목표 대역에 맞는 두께 조합을 찾는다. 가시광과 NIR 940 nm는 최적 두께가 꽤 달라서(940 nm용은 Ta₂O₅가 두꺼워진다) RGB-IR 센서나 ToF 센서는 별도 스택이 필요하다. ③ HfO₂를 2~10 nm로 고정해도(음전하 패시베이션용) Ta₂O₅만 조금 줄이면 반사가 거의 그대로임을 확인하라. ④ '공기' 입사에서는 SiO₂ 덮개층이 3번째 손잡이가 되어 37% → 3% 아래까지 내려간다.

스택 (위 → Si)	입사	가시 평균 R	R @450	R @550	R @650	R @940
맨 Si	공기	37.7%	41.9%	36.8%	34.5%	32.1%
SiO₂ 94 nm (자연 산화+)	공기	12.8%	18.6%	9.8%	10.5%	18.3%
Si₃N₄ 66 nm	공기	3.7%	8.2%	0.0%	3.7%	15.9%
SiO₂ 40 / Ta₂O₅ 48 nm	공기	2.8%	4.7%	0.3%	4.1%	15.8%
맨 Si	산화막	23.3%	27.3%	22.4%	20.3%	18.2%
HfO₂ 66 nm	산화막	6.9%	9.2%	5.3%	6.3%	10.6%
Ta₂O₅ 52 / HfO₂ 10 nm	산화막	3.9%	7.1%	1.9%	3.2%	8.9%

표: OPT.tmm 계산값(수직 입사, 가시 평균은 420~680 nm 균등 평균). 실제 픽셀의 반사는 그 위 컬러 필터·렌즈 경계면의 반사(각 0.1~1%)가 더해진다.

실무 노트: 반사 방지 스택을 바꾸기 전에

AR 스택 두께는 광학만으로 정하지 않는다. ① HfO₂/Al₂O₃ 두께와 열처리는 고정 전하 밀도와 계면 결함을 바꿔 암전류·백점(White Pixel)에 직접 영향을 준다. ② Ta₂O₅·HfO₂는 400 nm 아래에서 흡수가 시작될 수 있고 결정화되면 산란이 생긴다. ③ 산화막 버퍼 두께는 컬러 필터 접착, 그리드 식각 정지층, 수소 확산 경로와 얽혀 있다. 그래서 실무에서는 TMM으로 '광학적으로 허용되는 창'을 그린 뒤 전기 특성 분할 실험(Split)으로 최종 두께를 고른다. QE 측정 스펙트럼의 리플 위치를 TMM에 맞춰(피팅) 실제 증착 두께를 역산하는 것도 일상적인 분석이다.

실리콘 안의 깊이별 흡수와 정상파

반사가 줄면 실리콘으로 들어가는 빛 $1-R$이 늘지만, 픽셀 감도에 중요한 것은 그 빛이 어느 깊이에서 흡수되느냐다. 너무 깊은 곳(포토다이오드 아래, 또는 실리콘을 뚫고 배선층)에서 흡수되면 전하를 잃거나 이웃 픽셀로 새고, 너무 얕은 곳(표면 수십 nm)은 재결합이 많다. TMM은 각 층 안의 정방향·역방향 진폭을 알고 있으므로 깊이 $z$에서 단위 두께당 흡수되는 파워를 바로 계산한다.

$$\frac{dA}{dz} = \frac{\mathrm{Im}\!\big(\tilde n\cos\theta\; k_z\big)\,|E(z)|^2}{\mathrm{Re}(n_0\cos\theta_0)}\quad(\text{s 편광}),\qquad \text{수직 입사, 반무한 Si: }\ \frac{dA}{dz}=(1-R)\,\alpha\,e^{-\alpha z}$$

$\alpha = 4\pi k/\lambda$는 흡수 계수. 실리콘이 충분히 두꺼우면 안쪽으로 가는 파동만 있어 베르–람베르트(Beer–Lambert) 지수 감쇠와 정확히 같다. 실리콘이 얇아 뒷면(배선층 쪽 산화막)에서 반사가 돌아오면 정방향·역방향파가 겹쳐 주기 $\lambda/(2n)$(850 nm에서 약 116 nm)의 정상파(Standing Wave)가 생기고, 흡수 분포가 물결친다.

OPT 라이브러리에서는 OPT.tmmProfile(OPT.tmm(stack, λ), step, tail)이 이 분포를 깊이별로 돌려준다. 파랑(450 nm)은 흡수 깊이 0.39 µm라 첫 1 µm에서 92%가 흡수되고, 빨강(600 nm)은 2.4 µm, 850 nm NIR은 19 µm, 940 nm는 56 µm다. 실리콘 3 µm인 픽셀에서 940 nm 빛은 5%만 흡수된다. ToF·보안 카메라용 NIR 센서가 실리콘을 6 µm 이상으로 두껍게 하고, 표면에 피라미드·역피라미드 산란 구조를 넣어 빛을 옆으로 눕혀 광경로를 늘리는 이유다(14장).

SIMULATOR

깊이별 흡수 분포: OPT.tmmProfile

파장 λ 실리콘 두께

실리콘 아래 (뒷면)

반사 방지

|E|² 분포 겹쳐 보기

반사 R—

실리콘 흡수 (TMM)—

베르–람베르트 단일 통과—

첫 3 µm 흡수 B / G / R—

해볼 것: ① 450 nm에서는 분포가 표면에 몰린 지수 함수이고 뒷면 조건과 무관하다. ② 850~940 nm로 가면 빛이 뒷면까지 도달해 반사파와 겹쳐 116~128 nm 주기의 정상파가 생긴다. 실리콘 두께를 0.1 µm씩 바꾸면 총 흡수가 들쭉날쭉하다 — NIR QE 리플(에탈론, 5장)의 원인이다. ③ 뒷면을 'Al 반사판'으로 바꾸면 빛이 되돌아와 한 번 더 지나가므로 NIR 흡수가 늘어난다(940 nm에서 약 1.9배). 하지만 반사 R도 60% 이상으로 커진다 — 되돌아온 빛이 위쪽 AR을 그대로 빠져나가기 때문이다. 평평한 박막만으로는 빛을 가둘 수 없고, 산란 구조로 빛을 눕혀 전반사로 가둬야 하는 이유다. ④ 왼쪽 회색 영역(산화막 0.5 µm)의 보라색 곡선은 |E|²로, 입사파와 반사파의 정상파가 보인다. 반사 방지를 켜면 산화막 속 정상파 대비가 줄어든다.

파장	흡수 깊이 1/α	첫 1 µm 흡수	첫 3 µm 흡수	의미
450 nm (B)	0.39 µm	92%	≈100%	표면 재결합·패시베이션 품질이 QE를 결정
530 nm (G)	1.26 µm	55%	91%	포토다이오드 깊이 설계의 기준
600 nm (R)	2.42 µm	34%	71%	실리콘 두께 3 µm 미만이면 R 감도 손실
850 nm (NIR)	18.7 µm	5.2%	15%	광 트래핑·두꺼운 Si 필요, 에탈론 리플
940 nm (NIR)	56 µm	1.8%	5.2%	ToF·얼굴 인식, 산란 구조 필수

표: 반사를 뺀, 실리콘에 들어간 빛 중 흡수 비율(단일 통과 베르–람베르트, OPT.siAlpha 기준).

결맞음이 깨질 때: 두꺼운 층과 커버 글라스

TMM은 모든 반사파를 진폭으로 더하는 결맞음 계산이다. 그런데 결맞음 길이 $\ell_c\approx\lambda^2/\Delta\lambda$보다 광경로가 훨씬 긴 층에서는 위아래 면의 반사파가 서로 위상 관계를 잃는다(5장). 0.21 mm IR 컷 필터 유리, 0.3~0.5 mm 커버 글라스, 렌즈 엘리먼트가 그렇다. 이런 층을 결맞음 TMM으로 계산하면 0.3 nm 주기의 촘촘한 리플이 나오는데, 이것은 현실의 어떤 광원·측정에서도 관측되지 않는 '계산의 유령'이다.

올바른 처리는 두꺼운 층 안에서는 세기(파워)를 더하는 것이다. 반사율 $R_1$(윗면), $R_2$(아랫면), 층 내부 단일 통과 투과 $\tau$인 두꺼운 층에서 무한 다중 반사를 세기로 합하면

$$R_\text{inc} = R_1 + \frac{(1-R_1)^2\,\tau^2 R_2}{1-R_1R_2\tau^2},\qquad T_\text{inc} = \frac{(1-R_1)(1-R_2)\,\tau}{1-R_1R_2\tau^2}$$

무손실($\tau=1$) 유리판에서 $R_1=R_2=0.043$이면 $R_\text{inc}=2R_1/(1+R_1)=8.2\%$. 결맞음 계산의 리플(0~16%)을 파장 평균한 값과 같다. 각 면에 박막 코팅이 있으면 $R_1,R_2$를 그 면의 결맞음 TMM으로 구하고 두꺼운 층은 세기로 잇는 '혼합(Coherent–Incoherent) TMM'을 쓴다. 상용 박막·픽셀 시뮬레이터의 'incoherent layer' 옵션이 바로 이것이다.

그림 11-6. 결맞음 처리 기준. 왼쪽 박막에서는 반사파들이 위상 관계를 유지해 진폭으로 더해지고, 오른쪽 두꺼운 유리에서는 광경로차가 결맞음 길이보다 길어 세기로 더해진다. 판단 기준은 왕복 광경로 $2nd$와 $\ell_c=\lambda^2/\Delta\lambda$의 비교다.

SIMULATOR

유리판의 결맞음 vs 비결맞음 반사

유리 두께 d 광원 대역폭 Δλ (FWHM) 중심 파장 양면 MgF₂ 1/4 파장 AR 코팅

리플 주기 λ²/(2nd)—

결맞음 길이 ℓc vs 2nd—

리플 폭(최대−최소) 단색 → 평균—

비결맞음 공식 R—

해볼 것: ① d = 1 µm 근처에서는 리플 주기가 수십 nm라 대역폭 1 nm 광원으로도 리플이 그대로 보인다(결맞음). ② d를 100 µm, 1 mm로 키우면 리플이 화면을 메우고, 대역폭을 0.1 nm만 넣어도 굵은 곡선(대역 평균)이 비결맞음 직선에 붙는다. ③ 대역폭을 0으로 두면 1 mm 유리도 '레이저처럼' 간섭한다 — 단일 모드 레이저로 센서를 측정할 때 커버 글라스 무늬(Fringe)가 영상에 찍히는 이유다. ④ AR 코팅을 켜면 $R_1$이 작아져 리플 진폭 자체가 줄어든다. 가로축 범위는 리플 주기에 맞춰 자동으로 바뀐다.

공정 두께 공차와 민감도

설계가 아무리 좋아도 증착 두께는 흔들린다. 스퍼터·전자빔 증착은 층마다 ±1~2%, ALD는 ±0.5 nm 수준이고, 웨이퍼 중심과 가장자리 사이에 수 %의 체계적 두께 기울기(Non-Uniformity)가 생긴다. 박막 설계를 평가할 때는 공칭 스펙트럼만이 아니라 두께 오차에 대한 민감도를 반드시 본다. 오차는 두 종류로 나뉜다.

체계적 오차(Systematic): 모든 층이 같은 비율로 두꺼워지거나 얇아진다. 공정 레이트 보정 오차, 웨이퍼 위치에 따른 두께 분포. 스펙트럼 전체가 파장 축으로 늘어나거나 줄어든다($\lambda\propto nd$). 에지 필터는 1% 오차에 에지가 약 1%(650 nm에서 6.5 nm) 이동한다.
무작위 오차(Random): 층마다 독립적으로 흔들린다. 스펙트럼 모양 자체가 일그러지고, 특히 리플과 저지 대역 가장자리가 무너진다. 층 수가 많을수록 영향이 커진다.

민감도 분석의 표준은 몬테카를로(Monte Carlo) 시뮬레이션이다. 각 층 두께를 $d_j(1+\epsilon_j)$, $\epsilon_j\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$로 무작위로 흔든 스택 수십~수천 개를 TMM으로 계산해 성능 지표의 분포를 본다. 설계 단계에서 이 분포를 좁히는 방향으로 다시 최적화하는 것을 강건 설계(Robust Design)라 한다.

SIMULATOR

몬테카를로 두께 공차 분석

대상 설계

두께 오차 σ (%)

오차 종류

지표—

공칭값—

평균 ± 표준편차 (40회)—

최악값—

해볼 것: ① 'BSI AR 2층'은 σ = 5%에서도 가시 평균 R이 0.1~0.3%p 정도만 변한다 — 반사 최소점 근처는 두께에 대해 2차(평평)이기 때문이다. ② 'IR 컷 33층'에서 체계적 오차 2%는 에지를 약 13 nm 옮기지만 모양은 유지하고, 무작위 오차 2%는 에지 위치보다 통과 대역 리플을 키운다. ③ '940 nm 협대역'(15층 공진 FP 필터, FWHM 약 9 nm)은 가장 예민하다. 모든 층이 1% 두꺼워지면 봉우리가 약 9 nm, 공진층 하나만 1% 두꺼워져도 약 3.5 nm 이동해 통과 대역 폭과 맞먹는다. ToF 모듈에서 협대역 필터와 광원(VCSEL)의 파장·온도 드리프트, 입사각을 함께 관리해야 하는 이유다.

심화: 왜 1/4 파장 설계는 강건한가

1/4 파장 층의 위상 $\delta=\pi/2$에서 특성 행렬 원소 $\cos\delta$는 0을 지나고 $\sin\delta$는 최대(기울기 0)이다. 두께 오차 $\Delta\delta$에 대해 $\sin\delta$는 2차로만 변하므로 반사 최소·최대는 두께에 둔감하다. 반대로 에지 필터의 가장자리, 공진 필터의 봉우리 위치는 위상 누적의 '기울기'이므로 오차에 1차로 반응한다. 그래서 공정 모니터링은 대개 광학식 실시간 측정(Optical Monitoring)으로 각 층의 1/4 파장 '반사 극값'에서 증착을 멈추는 방식을 쓴다. 극값에서 멈추면 오차가 서로 보상되는 효과도 있다.

박막 컬러 필터 vs 안료 컬러 필터

이미지 센서의 RGB 컬러 필터는 거의 모두 안료 분산형 감광 수지(Pigment-Dispersed Photoresist)다. 안료가 원하지 않는 파장을 흡수한다. 반면 프로젝터·3CCD 카메라의 색 분리 프리즘, 분광 센서, 일부 연구용 센서는 다층 박막 이색 필터(Dichroic Filter)를 쓴다. 원하지 않는 파장을 반사한다. 두 방식은 장단점이 정반대다.

스펙트럼 모양: 이색 필터는 가장자리가 가파르고 통과 대역 투과가 95% 이상이다. 안료는 투과 대역에서도 80~90%이고 가장자리가 완만해 채널 간 겹침이 크다.
각도 의존성: 이색 필터는 5절의 청색 이동을 그대로 겪는다. 렌즈 CRA가 30°인 모바일 센서에서는 화면 위치마다 색이 달라진다. 안료는 경로 길이가 $1/\cos\theta_\text{in}$로 조금 늘 뿐(수지 안 굴절각 기준, 30° 입사에서 약 +5%) 스펙트럼 위치는 변하지 않는다.
미세화: 안료 필터는 0.5~0.9 µm 두께로 픽셀마다 사진 공정으로 패턴한다. 이색 필터는 픽셀마다 다른 15~30층을 쌓아야 해 공정 단계가 크게 늘어나고, 1 µm 이하 픽셀에서는 가장자리 회절로 성능이 무너진다.
반사광: 이색 필터가 반사한 빛은 렌즈로 돌아가 다시 센서로 오면서 고스트·플레어가 된다(16장). 안료는 흡수해 버린다.

그래서 박막 필터는 칩 위에서는 다른 역할로 쓰인다. 픽셀 단위 금속–유전체 패브리–페로 필터로 만든 분광 센서(Multispectral/Hyperspectral), RGB-IR 센서의 IR 통과 필터, 그리고 안료 필터 위에 올린 IR 차단 다층막이다. 이런 설계는 모두 CRA에 따른 이동을 공정 단계에서 보정(가장자리 픽셀의 층 두께를 다르게 하거나 마이크로렌즈 시프트로 각도를 줄임)해야 한다.

SIMULATOR

이색(박막) 컬러 필터 vs 안료 컬러 필터: 입사각 의존성

채널

입사각 θ (공기 기준) 이색 필터의 반사율도 표시

이색 필터 층 수 · 두께—

이색: 투과 중심 이동—

안료: 투과 중심 이동—

통과 대역 평균 T 이색 / 안료—

해볼 것: ① 0°에서 이색 필터(실선)는 각진 사각형, 안료(점선 계열)는 둥근 산 모양이다. ② 각도를 30°로 올리면 이색 필터 전체가 15~25 nm 왼쪽으로 이동하지만 안료 곡선은 거의 제자리에서 약간 낮아질 뿐이다. ③ '반사율도 표시'를 켜면 이색 필터가 막는 빛이 흡수되지 않고 모두 반사됨을 볼 수 있다. 이 필터는 TiO₂/SiO₂ 에지 필터 두 개를 이은 교육용 단순 설계(최적화 전)라 통과 대역 리플이 남아 있다.

핵심 정리

1/4 파장 단층 AR: $n_1d=\lambda_0/4$, $R(\lambda_0)=\big(\frac{n_0n_s-n_1^2}{n_0n_s+n_1^2}\big)^2$, 이상적 $n_1=\sqrt{n_0n_s}$. 공기/Si는 2.02(Si₃N₄), 산화막/Si는 2.44(Ta₂O₅·TiO₂ 급).
특성 행렬 $M=\begin{bmatrix}\cos\delta&-\tfrac{i}{\eta}\sin\delta\\-i\eta\sin\delta&\cos\delta\end{bmatrix}$은 접선 $E,H$의 연속에서 나온다. 층을 쌓는 것은 행렬 곱이고, $Y=C/B$가 등가 어드미턴스다.
1/4 파장 층은 $\eta\to\eta_j^2/\eta$ 변환, 1/2 파장 층은 설계 파장에서 '없는 층'. 유전체 어드미턴스 궤적은 실수축에 중심을 둔 원이다.
TMM은 가로로 균일한 층에 대해 엄밀하고 빠르다(40층 × 수백 파장 = ms). 비스듬한 입사는 $\eta_s=\tilde n\cos\theta$, $\eta_p=\tilde n/\cos\theta$.
브래그 미러: $(HL)^NH$의 $Y=(n_H/n_L)^{2N}n_H^2/n_s$, 저지 대역 $\Delta g=\frac4\pi\arcsin\frac{n_H-n_L}{n_H+n_L}$(TiO₂/SiO₂ ≈ 0.33λ₀). 층을 더하면 R이 오르지만 폭은 그대로.
IR 컷 필터는 λ₀가 다른 $(\tfrac L2H\tfrac L2)^N$ 스택을 이은 30~40층 SWP다. 에지는 $\lambda(\theta)\approx\lambda_0\sqrt{1-\sin^2\theta/n_\text{eff}^2}$로 이동해 30°에서 약 −25 nm, 가장자리 R 신호가 줄어 색 쉐이딩을 만든다.
BSI AR(HfO₂ 수 nm + Ta₂O₅ ~50 nm)은 산화막/Si 반사를 22% → 4%, 공기/Si 기준 37% → 3% 수준으로 낮춘다. HfO₂/Al₂O₃는 음전하 패시베이션을 겸한다.
OPT.tmmProfile로 깊이별 흡수를 얻는다. 3 µm Si에서 B ≈ 100%, G ≈ 91%, R(600) ≈ 71%, 940 nm ≈ 5%. 얇은 Si의 NIR은 정상파·에탈론 리플을 보인다.
결맞음 길이보다 두꺼운 층(커버 글라스, 필터 기판)은 세기로 더하는 비결맞음 처리가 필요하다. 유리판 $R_\text{inc}=2R_1/(1+R_1)$.
두께 공차: 반사 극값은 2차로 둔감, 에지·공진 위치는 1차로 민감. 안료 필터는 각도에 강하고 이색 필터는 각진 스펙트럼 대신 CRA에 따른 이동을 감수한다.

확인 퀴즈

Q1. 유리(n = 1.52) 위 MgF₂(n = 1.38) 1/4 파장 막의 설계 파장 반사율은 대략? (공기 입사)

$R=\big(\frac{1.52-1.38^2}{1.52+1.38^2}\big)^2=\big(\frac{1.52-1.904}{3.424}\big)^2=0.0126$. 이상적 굴절률 $\sqrt{1.52}=1.23$인 단단한 재료가 없어 0까지는 못 간다. 그래서 고급 렌즈는 다층 AR을 쓴다.

Q2. BSI 센서에서 산화막(n = 1.46)으로부터 실리콘(n = 4.08)에 들어갈 때, 단층 1/4 파장 AR의 이상적 굴절률과 가장 가까운 재료는?

$\sqrt{1.46\times4.08}=2.44$. 보기 중 Ta₂O₅가 가장 가깝다(TiO₂ 2.45가 더 가깝지만 청색 흡수·공정 문제가 있다). 공기 입사였다면 $\sqrt{4.08}=2.02$로 Si₃N₄가 정답이었을 것이다.

Q3. 어떤 층의 두께가 설계 파장에서 정확히 1/2 파장($\delta=\pi$)이다. 그 파장에서 이 층의 효과는?

$\cos\pi=-1,\ \sin\pi=0$이므로 $M=-I$. 전체 부호만 바뀌어 $Y=C/B$가 그대로다(Absentee Layer). 다른 파장에서는 효과가 있어 대역 조정에 쓴다. η²/ηₛ 변환은 1/4 파장 층의 성질이다.

Q4. 무손실 다층 스택을 TMM으로 계산했더니 어떤 파장에서 R = 0.62, T = 0.41이 나왔다. 가장 먼저 의심할 것은?

무손실이면 R + T = 1이어야 한다. $T=|t|^2$로만 계산하고 $\mathrm{Re}(n_s\cos\theta_s)/\mathrm{Re}(n_0\cos\theta_0)$ 보정(파워 흐름의 매질·각도 차이)을 빼먹는 실수가 가장 흔하다.

Q5. TiO₂/SiO₂(2.45/1.46) 브래그 미러의 저지 대역 폭(λ₀ = 800 nm)은 대략? 그리고 쌍 수를 6에서 12로 늘리면?

$\Delta g=\frac4\pi\arcsin\frac{0.99}{3.91}=0.326$, 폭 ≈ 0.326 × 800 ≈ 260 nm(정확한 가장자리는 $\lambda_0/(1\pm\Delta g/2)$ = 688~955 nm). 폭은 굴절률 대비로만 정해진다. 실제 TiO₂는 800 nm에서 2.34로 조금 낮아 폭이 약간 좁다.

Q6. 0°에서 50% 에지가 650 nm인 간섭형 IR 컷 필터(n_eff = 1.8)에 CRA 35°의 광선이 들어오면 에지는?

$650\sqrt{1-\sin^2 35^\circ/1.8^2}=650\sqrt{1-0.329/3.24}=650\times0.948=616$ nm. 34 nm 청색 이동이다. 600~650 nm 신호가 깎여 가장자리 R 채널이 어두워지고 청록색 쉐이딩이 생긴다.

Q7. 3 µm 두께 실리콘 픽셀에서 940 nm 빛의 흡수가 단일 통과 5% 남짓에 불과하다. 박막·구조 관점에서 흡수를 늘리는 방법으로 적절하지 않은 것은?

컬러 필터에서 흡수된 빛은 신호가 되지 못하고 손실일 뿐이다. 나머지 셋은 실리콘 안 광경로·입사량을 늘리는 실제 기법이다(14장의 광 트래핑).

Q8. 0.4 mm 커버 글라스(n = 1.52)의 550 nm 반사 리플 주기는? 이 층을 픽셀 시뮬레이션에서 어떻게 다뤄야 할까?

$\lambda^2/(2nd)=550^2/(2\times1.52\times400\,000)\approx0.25$ nm. 실제 광원·측정 대역폭에서 완전히 평균되므로 비결맞음 처리를 한다. 단, 대역폭이 0.01 nm보다 좁은 단일 모드 레이저 조명에서는 실제로 무늬가 보일 수 있다.

Q9. 다음 박막 설계 중 무작위 두께 오차 2%에 가장 민감한 지표는?

반사 극값(AR 최소, 미러 최대)은 위상에 대해 기울기 0인 지점이라 2차로만 변한다. 공진 봉우리 위치는 누적 위상에 1차로 비례해 공진층 1% 오차가 수 nm 이동으로 바로 나타나고, 통과 대역이 좁아 큰 투과 변화로 이어진다.

Q10. 모바일 센서(CRA 최대 35°)가 픽셀 단위 이색(박막) 컬러 필터 대신 안료 컬러 필터를 쓰는 가장 큰 광학적 이유는?

이색 필터는 간섭 원리상 $\cos\theta$에 따라 스펙트럼 전체가 청색 이동한다. 투과율과 가장자리 기울기는 오히려 이색 필터가 우수하다. 공정 복잡도와 반사광(플레어)도 함께 이유가 된다.