Chapter 04

수차와 광선 추적

3장의 결상식은 모두 $\sin\theta \approx \theta$라는 근축 근사 위에 서 있다. 그런데 F/1.8 모바일 렌즈의 주변 광선은 18° 가까이 기울고, 코너 필드의 주광선은 35°를 넘는다. 이 영역에서 광선은 한 점에 모이지 않는다 — 이것이 수차(Aberration)다. 이 장에서는 광선을 구면에서 정확히 굴절시키는 실광선 추적을 직접 구현하고, 그 결과를 자이델 5수차와 파면 수차·Zernike 다항식이라는 언어로 정리한다. 마지막으로 5~7장의 고비구면 플라스틱 렌즈가 수차를 어떻게 잡는지, 그 대가로 왜 센서에 큰 CRA와 왜곡, 색번짐을 넘기는지 살펴본다.

광선–구면(원뿔곡면) 교점과 벡터 스넬 법칙으로 실광선 추적기를 만들고, 근축 추적과 비교해 구면수차를 계산한다.
종·횡 구면수차, 광선 수차 그래프(Ray-intercept Plot), 최소 착란원과 렌즈 굽힘(Shape Factor)의 관계를 이해한다.
파면 수차 함수 $W(\rho,\theta,H)$로 자이델 5수차(구면·코마·비점·상면만곡·왜곡)를 정의하고 스팟 다이어그램을 그린다.
페츠발 합과 상면만곡이 평탄한 센서에서 코너 해상도를 어떻게 제한하는지, 왜곡을 ISP가 보정할 때 무엇을 잃는지 정량화한다.
아베수로 축상·배율 색수차를 계산하고, 색지움 이중렌즈의 조건과 2차 스펙트럼을 이해한다.
OPD·RMS 파면 오차·Zernike 분해·마레샬 기준·Strehl 비의 관계를 FFT PSF로 확인한다.
짝수차 비구면 식과 모바일 렌즈의 구성(5~7P)을 읽고, 큰 CRA와 비단조 CRA 곡선이 생기는 이유를 설명한다.

근축 근사의 끝: 수차란 무엇인가

2장에서 스넬 법칙 $n\sin\theta = n'\sin\theta'$을 $n\theta = n'\theta'$로 바꾸는 순간 광학은 선형이 되었다. ABCD 행렬, 주요점, 동공 — 모두 이 선형성의 산물이다. 그러나 사인 함수를 테일러 전개하면

$$\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$

1차 항만 남기면 근축(가우스) 광학, 3차 항까지 남기면 3차(자이델) 수차 이론, 5차 항은 5차 수차가 된다. $\theta = 18°$(F/1.6 주변 광선)에서 $\theta^3/6$은 $\theta$의 1.6%로 작아 보이지만, 초점거리 4 mm 렌즈에서 이 비율이 만드는 초점 위치 차이는 수십 µm — 픽셀 수십 개 크기다.

근축 결상에서 벗어나는 모든 오차를 수차(Aberration)라 한다. 수차는 크게 두 갈래다.

단색 수차(Monochromatic): 한 파장에서도 생긴다. 3차 이론에서 다섯 종류 — 구면수차, 코마, 비점수차, 상면만곡, 왜곡 — 로 정리된다(자이델 5수차). 앞의 셋은 상을 흐리게, 뒤의 둘은 상의 위치를 틀리게 만든다.
색수차(Chromatic): 굴절률이 파장에 따라 달라서(1장의 분산) 초점거리와 배율이 파장마다 다르다. 축상 색수차와 배율(횡) 색수차가 있다.

그림 4-1. 양(+) 렌즈의 구면수차. 렌즈 가장자리를 지나는 광선일수록 더 세게 꺾여 근축 초점 F′보다 앞에서 광축을 지난다. 광축 방향의 초점 차이가 종 구면수차(LSA), 근축 상면에서의 높이 오차가 횡 구면수차(TSA)다. 광선 다발이 가장 가늘어지는 곳이 최소 착란원이다.

수차를 기술하는 방법도 두 가지다. 광선 수차(Ray Aberration)는 광선이 상면에서 이상적인 점으로부터 얼마나 비켜 맞는지(µm)로, 파면 수차(Wavefront Aberration)는 출사동에서 실제 파면이 이상적인 구면파로부터 얼마나 앞서거나 뒤처지는지(파장 단위)로 말한다. 둘은 미분 관계로 연결되며(4절), 회절까지 고려한 PSF·MTF 계산(7장, 8장)은 파면 수차에서 출발한다.

왜 픽셀 개발자가 수차를 알아야 하나

렌즈는 렌즈 업체가 설계하지만, 그 결과물인 PSF의 크기·모양, 필드별 초점 위치, 파장별 상 위치, 왜곡과 CRA는 고스란히 센서로 넘어온다. 0.7 µm 픽셀 위에서 2 µm짜리 코마 꼬리는 인접 픽셀 신호가 되고(광학적 크로스토크와 구분이 안 된다), 1.5 µm의 배율 색수차는 코너에서 R/B 채널을 두 픽셀 어긋나게 만들며, 상면만곡은 "센터는 선명한데 코너가 흐린" 모듈 불량으로 나타난다. 센서 쪽 MTF 예산과 ISP 보정 범위를 정하려면 이 숫자들을 읽을 수 있어야 한다.

실광선 추적: 구면에서의 정확한 굴절

렌즈 설계 프로그램(Zemax, CODE V)의 심장은 놀랄 만큼 단순한 두 단계의 반복이다. ① 광선과 다음 면의 교점을 구하고, ② 그 점의 법선으로 스넬 법칙을 적용해 새 방향을 구한다. 근사는 하나도 없다. 이 절에서는 이를 자오면(광축을 포함하는 $y$–$z$ 평면) 안에서 구현한다.

1단계: 광선과 원뿔곡면의 교점

꼭짓점이 $z_v$에 있고 곡률 $c = 1/R$, 원뿔 상수 $k$인 회전 대칭 면은 ($z' = z - z_v$, $r^2 = x^2+y^2$)

$$F(z', r) = c\left[r^2 + (1+k)\,z'^2\right] - 2z' = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z' = \frac{c\,r^2}{1+\sqrt{1-(1+k)c^2r^2}}$$

$k=0$: 구, $-1<k<0$: 장축이 광축인 타원면, $k=-1$: 포물면, $k<-1$: 쌍곡면. 오른쪽의 새그(Sag) 식은 $c\to 0$일 때 평면으로 매끄럽게 넘어가므로 수치적으로 안정하다.

광선을 $\mathbf{P}(t) = \mathbf{P}_0 + t\,\mathbf{d}$($\mathbf d = (L, M)$은 방향 코사인, $|\mathbf d| = 1$)로 쓰고 $F=0$에 대입하면 $t$에 대한 이차방정식 $a t^2 + 2B t + C = 0$이 된다.

$$a = c\left[M^2 + (1+k)L^2\right],\quad B = c\left[y_0M + (1+k)z_0'L\right] - L,\quad C = c\left[y_0^2 + (1+k)z_0'^2\right] - 2z_0'$$ $$t = \frac{C}{-B + \sqrt{B^2 - aC}}$$

근의 공식 $t = (-B \pm \sqrt{B^2-aC})/a$을 분자 유리화한 형태로, $c\to0$(평면)에서도 $a\to 0$으로 나누지 않아 안정하다. 판별식이 음수면 광선이 면을 비켜간 것(구경 밖)이다. 이 근은 꼭짓점에 가까운 교점이다.

2단계: 벡터 스넬 법칙

교점에서 면의 법선은 $\nabla F \propto \left(c(1+k)z' - 1,\; c\,y\right)$이다. 이를 단위 벡터 $\hat{\mathbf n}$으로 만들고 $\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf d > 0$이 되도록 방향을 맞추면, 굴절 광선은

$$\mathbf d' = \mu\,\mathbf d + \left(\cos\theta_t - \mu\cos\theta_i\right)\hat{\mathbf n},\qquad \mu = \frac{n}{n'},\quad \cos\theta_i = \hat{\mathbf n}\cdot\mathbf d,\quad \cos\theta_t = \sqrt{1-\mu^2\left(1-\cos^2\theta_i\right)}$$

스넬 법칙 $n\sin\theta_i = n'\sin\theta_t$과 "입사 광선·법선·굴절 광선이 한 평면에 있다"는 조건을 한 줄로 쓴 것이다. 루트 안이 음수면 전반사(10장). 3D에서도 같은 식을 그대로 쓴다.

그림 4-2. 실광선 추적의 한 단계. 광선과 구면의 교점 P를 구한 뒤, P에서 곡률 중심을 향하는 법선에 대해 스넬 법칙을 적용한다. 렌즈 가장자리로 갈수록 입사각 $\theta_i$가 빠르게 커지므로 $\sin\theta_i$와 $\theta_i$의 차이(=3차 항)도 커진다 — 이것이 구면수차의 기원이다.

아래 시뮬레이터는 이 두 식만으로 단렌즈를 지나는 광선 다발을 추적한다. 같은 렌즈에 대해 근축 추적($y$–$nu$)으로 구한 초점과 비교하면 구면수차가 정확히 얼마인지 나온다. 아래쪽 패널은 초점 부근을 세로로 확대해 광선 다발이 만드는 초선(Caustic)을 보여 준다.

SIMULATOR

실광선 추적: 단렌즈의 구면수차와 초점 부근 확대

프리셋 (f′ ≈ 50 mm, BK7)

앞면 곡률 c₁ 뒷면 곡률 c₂ 뒷면 원뿔 상수 k₂ 굴절률 n 입사 빔 반높이 h

EFL / F/#—

BFL (근축)—

종 구면수차 LSA—

횡 구면수차 TSA—

최적 초점 RMS 반경—

에어리 반경 (550 nm)—

해볼 것: ① "평볼록(곡면 앞)"과 "평볼록(평면 앞)"은 초점거리가 같지만 LSA가 약 4배 차이 난다 — 굴절을 두 면에 나눠 맡기면 각 면의 입사각이 작아지기 때문이다. ② 빔 반높이 h를 두 배로 하면 LSA는 약 4배($\propto h^2$), TSA는 약 8배($\propto h^3$)가 된다. ③ "쌍곡 비구면"은 뒷면을 $k_2 = -n^2$인 쌍곡면으로 만든 것으로, 평행광에 대해 구면수차가 정확히 0이다. k₂를 조금만 바꿔도 수차가 되살아나는 것을 확인하자. ④ 최적 초점의 RMS 반경을 에어리 반경과 비교 — 기하 블러가 더 크면 "수차 제한", 작으면 "회절 제한"이다. 길이 단위 mm, 아래 패널의 세로축은 확대(µm).

구면수차, 광선 수차 그래프와 렌즈 굽힘

축상 물점에서 나온 광선의 입사 높이(동공 좌표 $\rho = h/h_{\max}$)에 따라 초점이 달라지는 것이 구면수차(Spherical Aberration, SA)다. 시뮬레이터에서 보았듯 3차 영역에서는

$$\text{LSA}(\rho) \approx a_3\,\rho^2 + a_5\,\rho^4,\qquad \text{TSA}(\rho) = \text{LSA}(\rho)\,\tan U'(\rho) \approx -\frac{\rho\,\text{LSA}(\rho)}{2N}$$

$\text{LSA}$: 주변 광선의 광축 교차점과 근축 초점의 거리, $\text{TSA}$: 근축 상면에서의 광선 높이, $U'$: 상측 광선각, $N$: F/#. 3차 항 $a_3$이 지배하면 LSA ∝ $\rho^2$, TSA ∝ $\rho^3$. 양렌즈 단독이면 $a_3 < 0$(주변 광선이 짧게 모임, "보정 부족" Undercorrected).

광선 수차 그래프 읽기

렌즈 설계자가 가장 먼저 보는 그래프가 광선 수차 그래프(Ray-intercept / Ray-fan Plot)다. 가로축은 동공 좌표 $\rho_y\in[-1,1]$, 세로축은 그 광선의 상면 높이 오차 $\varepsilon_y$다. 곡선의 모양만 보고 수차를 판독할 수 있다.

구면수차: 원점 대칭의 3차 곡선 $\varepsilon \propto \rho^3$(S자).
초점 이동(디포커스): 원점을 지나는 직선 $\varepsilon \propto \rho$. 상면을 옮기면 3차 곡선에 기울기를 더하는 것과 같아, 곡선을 가장 "납작하게" 만드는 기울기가 최적 초점이다.
코마: 좌우 대칭인 포물선 $\varepsilon \propto \rho^2$(U자) — 4절.
왜곡: 곡선 전체가 위아래로 평행 이동(상 위치만 틀림).

순수한 3차 구면수차에서 최소 착란원은 근축 초점에서 주변 초점 쪽으로 LSA의 3/4 지점, RMS 스팟이 최소가 되는 곳은 약 1/2 지점(파면 기준으로는 $W_{020} = -W_{040}$)에 있다. 이때 횡 블러는 근축 초점보다 4배 작아진다. AF가 콘트라스트 최대 위치를 찾으면 자동으로 이 근처에 선다.

렌즈 굽힘: 같은 초점거리, 다른 수차

초점거리 $f' = 1/[(n-1)(c_1-c_2)]$는 두 곡률의 차이로만 정해진다. 따라서 $c_1 - c_2$를 고정한 채 두 곡률을 함께 바꾸는 렌즈 굽힘(Lens Bending)은 초점거리는 그대로 두고 수차만 바꾸는 설계 자유도다. 굽힘은 코딩턴 형상 인자(Shape Factor)로 나타낸다.

$$X = \frac{c_1 + c_2}{c_1 - c_2} = \frac{R_2 + R_1}{R_2 - R_1}$$

$X = 0$: 대칭 양볼록, $X = +1$: 평볼록(곡면이 물체 쪽), $X = -1$: 평볼록(평면이 물체 쪽), $|X| > 1$: 메니스커스. 무한원 물체에 대해 3차 구면수차를 최소로 하는 형상은 $X_{\text{opt}} = \frac{2(n^2-1)}{n+2}$이다($n = 1.517$이면 0.74, $n = 1.8$이면 1.19).

SIMULATOR

광선 수차 그래프와 렌즈 굽힘 (f′ = 50 mm 고정, 실광선 추적)

형상 인자 X 굴절률 n F/# 상면 이동 Δz (근축 초점 기준)

R₁ / R₂—

주변 광선 LSA—

최대 |ε| (현재 상면)—

LSA 최소 X (실광선)—

3차 이론 X_opt—

해볼 것: ① 왼쪽 광선 수차 그래프의 S자(3차) 곡선을 보고, Δz를 음수로 옮기면 직선 성분이 더해져 곡선이 납작해지는 것을 확인. "최적 초점으로"는 RMS 블러가 최소인 Δz를 찾아 준다. ② 오른쪽 곡선(|LSA| vs X)의 최소점이 3차 이론값 $2(n^2-1)/(n+2)$ 근처에 있는지 비교. ③ n을 1.9로 올리면 같은 초점거리에 곡률이 완만해져 수차가 크게 줄어든다 — 고굴절 유리·플라스틱이 비싼 이유. ④ F/#를 4→2로 밝게 하면 LSA는 4배, 최대 ε은 8배. 단렌즈로는 F/2에서 수십~수백 µm 블러를 피할 수 없다.

렌즈 (BK7, f′ = 50 mm, 두께 4 mm)	X	F/4 LSA	F/4 TSA (근축 상면)	F/2 LSA
평볼록, 곡면이 물체 쪽	+1	−0.86 mm	−111 µm	≈ −3.5 mm
대칭 양볼록	0	−1.22 mm	−154 µm	≈ −5 mm
평볼록, 평면이 물체 쪽	−1	−3.46 mm	−457 µm	≈ −14 mm
뒷면 쌍곡면 ($k_2=-n^2$)	−1	0	0	0

표 4-1. 이 장의 추적기로 계산한 값(입사 빔 반높이 6.25 mm = F/4). F/2 값은 $h^2$ 비례로 외삽한 근사치이며 실제로는 5차 항 때문에 더 크다.

규칙: "굴절을 나눠 맡겨라"

평볼록 렌즈는 볼록면이 평행광(물체가 먼 쪽)을 향할 때 수차가 작다. 두 면에서 꺾이는 각을 비슷하게 나누면 각 면의 입사각이 작아지고, 수차는 각도의 3제곱에 비례해 커지므로 총합이 줄어든다. 모바일 렌즈가 굴절력을 5~7장에 분산시키는 것, 마이크로렌즈(13장)에서 볼록면이 빛을 향하는 것도 같은 원리다.

파면 수차 함수와 자이델 5수차

축외 물점까지 다루려면 광선 하나하나보다 파면으로 생각하는 편이 깔끔하다. 이상적인 렌즈라면 출사동을 떠나는 파면은 상점을 중심으로 하는 구면(기준 구면)이다. 실제 파면이 기준 구면에서 벗어난 광경로 차가 파면 수차(Wavefront Aberration, OPD) $W$이다. 회전 대칭 시스템에서 $W$는 정규화된 상 높이 $H$(0: 중심, 1: 최대 필드)와 출사동 극좌표 $(\rho, \theta)$의 함수이며, 대칭성 때문에 $H^2$, $\rho^2$, $H\rho\cos\theta$의 조합으로만 나타난다.

그림 4-3. 파면 수차의 좌표. 출사동 위의 점은 정규화 반경 $\rho$와 자오 방향($y$)에서 잰 각 $\theta$로, 필드는 정규화 상 높이 $H$로 표시한다. 필드가 $y$축 위에 있으면 $\rho\cos\theta = \rho_y$가 자오(Tangential) 방향, $\rho\sin\theta = \rho_x$가 구결(Sagittal) 방향 동공 좌표다.

4차까지 전개한 결과가 자이델 수차(Seidel Aberrations)다(3차 광선 수차에 대응).

$$W(\rho,\theta,H) = \underbrace{W_{040}\rho^4}_{\text{구면}} + \underbrace{W_{131}H\rho^3\cos\theta}_{\text{코마}} + \underbrace{W_{222}H^2\rho^2\cos^2\theta}_{\text{비점}} + \underbrace{W_{220}H^2\rho^2}_{\text{상면만곡}} + \underbrace{W_{311}H^3\rho\cos\theta}_{\text{왜곡}}$$

$W_{klm}$: $H^k\rho^l\cos^m\theta$의 계수(길이 또는 파장 단위). 여기에 초점 이동 $W_{020}\rho^2$과 기울기 $W_{111}H\rho\cos\theta$(배율 오차)가 더해질 수 있다. $W_{220}$은 흔히 $W_{220P} + \tfrac12W_{222}$로 쓰며, $W_{220P}$가 페츠발 만곡이다.

파면 수차와 광선 수차는 파면의 기울기로 연결된다. 광선은 파면에 수직이므로, 파면이 기울면 광선도 기운다.

$$\varepsilon_x = -\frac{R}{n' r_p}\frac{\partial W}{\partial \rho_x} \approx -2N\frac{\partial W}{\partial \rho_x},\qquad \varepsilon_y \approx -2N\frac{\partial W}{\partial \rho_y}$$

$R$: 기준 구면 반경(출사동–상면 거리), $r_p$: 출사동 반경, $N = R/(2r_p)$: 작동 F/#. $W$를 파장 단위로 쓰면 $\varepsilon = -2N\lambda\,\partial W/\partial\rho$. 예: F/2, λ = 0.55 µm에서 $W_{040} = 1\lambda$이면 주변 광선 $\varepsilon = -2\cdot2\cdot0.55\cdot4 = -8.8$ µm.

수차	파면 $W$	광선 수차 의존성	상의 모양	픽셀에서의 증상
구면수차	$W_{040}\rho^4$	$\rho^3$, 필드 무관	밝은 코어 + 둥근 헤일로	전 화면 콘트라스트 저하, 초점 위치가 F/#에 따라 이동
코마	$W_{131}H\rho^3\cos\theta$	$\rho^2 H$	혜성 꼬리(60° 부채꼴)	방사 방향 비대칭 번짐, 크로스토크처럼 보임
비점수차	$W_{222}H^2\rho^2\cos^2\theta$	$\rho H^2$	T/S 방향 초점 분리, 선·타원	코너에서 방사/접선 방향 MTF 차이
상면만곡	$W_{220}H^2\rho^2$	$\rho H^2$	필드별 초점 위치가 곡면	센터-코너 동시 초점 불가
왜곡	$W_{311}H^3\rho\cos\theta$	$H^3$, 동공 무관	선명하지만 위치가 틀림	술통/실패형 격자, ISP 보정 필요

표 4-2. 자이델 5수차 요약. 광선 수차는 $\partial W/\partial\rho$이므로 동공 차수가 하나씩 낮다. 구면·코마·비점은 블러를, 상면만곡·왜곡은 위치 오차를 만든다(상면만곡은 평탄한 센서에서 결국 블러가 된다).

그림 4-4. 자이델 수차가 만드는 상의 모양(개념도). 구면수차는 대칭 헤일로, 코마는 필드 바깥(또는 안쪽)으로 퍼지는 혜성 모양, 비점수차는 자오(T)·구결(S) 방향 초점이 분리된 선/타원, 상면만곡은 초점면 자체가 휘는 것, 왜곡은 실패형(실선)·술통형(점선)처럼 격자가 휘는 것이다.

아래 시뮬레이터는 자이델 계수(최대 필드 $H=1$에서의 값, 파장 단위)를 직접 넣어 파면 지도와 스팟 다이어그램을 계산한다. 스팟은 동공 위 약 1,300개 광선 각각에 대해 위의 $\varepsilon = -2N\lambda\nabla W$를 계산해 찍은 것이다. 배경 격자는 픽셀 피치, 원은 에어리 디스크 반경이다.

SIMULATOR

자이델 수차 → 파면 지도와 스팟 다이어그램

프리셋

W₀₄₀ 구면 W₁₃₁ 코마 W₂₂₂ 비점 W₂₂₀ 상면만곡 W₃₁₁ 왜곡 디포커스 W₀₂₀ 필드 H F/# 픽셀 피치

W PV / RMS (틸트 제거)—

Strehl (마레샬 근사)—

RMS 스팟 반경—

중심 이동 (왜곡)—

에어리 반경—

해볼 것: ① "구면"에서 디포커스 W₀₂₀을 −1(= −W₀₄₀)로 두면 RMS 파면과 스팟이 모두 크게 줄어든다(최적 초점). ② "코마"에서 혜성 꼬리 길이는 $3\times$(2Nλ·W₁₃₁), 폭은 $2\times$임을 확인하고, 필드 H를 줄이면 H에 비례해 작아진다. ③ "비점"에서 디포커스를 0 → −0.5 → −1로 옮기면 세로선(자오 방향 초점 어긋남) → 원(최소 착란원) → 가로선으로 바뀐다. ④ "왜곡"은 스팟은 한 점인데 위치만 이동한다 — 파면은 순수한 기울기(틸트)라서 틸트를 뺀 RMS는 0, 블러도 없다. ⑤ F/#를 1.4로 낮추면 같은 파면 수차라도 스팟이 작아지고(ε ∝ N) 에어리 원도 작아진다. 계수는 H = 1 기준 파장(λ = 550 nm) 단위.

코마: 혜성 꼬리의 해부

코마 $W_{131}H\rho^3\cos\theta$를 미분하면 광선 수차는 $\varepsilon_y \propto H\rho^2(2+\cos2\theta)$, $\varepsilon_x \propto H\rho^2\sin2\theta$가 된다. 즉 동공의 반경 $\rho$인 고리 하나는 상면에서 반경 $\propto\rho^2$인 원을 두 바퀴 돌며, 원의 중심은 $2\rho^2$만큼 밀려 있다. 이 원들이 쌓여 꼭짓점 각 60°의 혜성 모양이 된다. 가장 바깥 고리의 원 반경을 구결 코마라 하면, 꼬리 길이(자오 코마)는 그 3배, 혜성의 최대 폭(원 지름)의 1.5배다. 코마는 스톱 위치에 민감해서, 같은 렌즈라도 조리개를 앞뒤로 옮기면 크게 바뀐다(스톱 이동 공식). 모바일 렌즈가 조리개를 첫 렌즈 앞이나 1–2번 렌즈 사이에 두는 것도 코마·왜곡·CRA 사이의 절충이다.

비점수차·상면만곡과 평탄한 센서

축외 물점에서 렌즈를 비스듬히 보면, 자오 방향(T)과 구결 방향(S)의 면 곡률이 다르게 보인다. 그래서 자오 광선 다발과 구결 광선 다발이 서로 다른 거리에서 초점을 맺는다 — 비점수차(Astigmatism). 각 필드의 T·S 초점을 이은 곡면이 자오 상면과 구결 상면이며, 비점수차가 없어도 남는 기본 곡면이 페츠발 면(Petzval Surface)이다.

$$\frac{1}{R_P} = -\,n'_k\sum_i \frac{\phi_i}{n_i n_i'}\;\;\xrightarrow{\text{공기 중 얇은 렌즈}}\;\; \frac{1}{R_P} = -\sum_i \frac{1}{n_i f_i},\qquad z_P(h) \approx -\frac{h^2}{2|R_P|}$$

$R_P$: 페츠발 곡률 반경, $\phi_i$: 각 면(렌즈)의 굴절력, $n_i, n'_i$: 면 앞뒤 굴절률. 양렌즈 하나면 상면이 렌즈 쪽으로 휜다($R_P = -nf$). 3차 이론에서 자오·구결 상면은 페츠발 면에서 각각 비점 기여의 3배, 1배만큼 떨어져 있다: $z_T - z_P = 3(z_S - z_P)$.

페츠발 합은 렌즈의 모양이나 위치와 무관하고 굴절력과 굴절률에만 의존한다. 굽힘이나 비구면으로는 고칠 수 없다는 뜻이다. 줄이는 방법은 둘뿐이다. ① 양렌즈는 고굴절률로, 음렌즈는 저굴절률로 만든다. ② 양렌즈와 음렌즈를 떨어뜨려 배치한다 — 페츠발 합에는 굴절력이 그대로 더해지지만, 시스템 굴절력에는 광선 높이가 가중되므로 높이가 낮은 곳의 음렌즈는 초점거리를 크게 해치지 않으면서 페츠발 합을 상쇄한다. 모바일 렌즈의 마지막 음(−) 렌즈, 일명 필드 플래트너(Field Flattener)가 바로 이것이다.

그림 4-5. 세로축은 상 높이, 가로축은 초점 위치. 페츠발 면(P)을 기준으로 구결 상면(S)과 자오 상면(T)이 1:3 비율로 떨어진다. 평탄한 센서는 어느 위치에 두어도 모든 필드에서 T·S 초점과 일치할 수 없다. 센서를 약간 렌즈 쪽으로 당기면(굵은 선) 센터를 조금 희생하고 코너를 살릴 수 있다.

평탄한 센서 위에서 초점 오차 $\Delta z$는 지름 약 $|\Delta z|/N$의 블러를 만든다(3장 심도). F/1.8에서 초점 오차 5 µm는 2.8 µm 블러, 즉 0.7 µm 픽셀 4개다. 렌즈의 초점 허용 범위는 레일리 기준($W_{020} \le \lambda/4$)으로

$$\Delta z_{\text{tol}} = \pm 2\lambda N^2 \quad(\text{F/1.8, 550 nm} \Rightarrow \pm3.6\ \mu\text{m})$$

디포커스 파면 $W_{020} = \Delta z/(8N^2)$(근사)에서 $W_{020} = \lambda/4$를 넣은 것. 모바일 렌즈의 전 필드 상면 편차(T·S 포함)는 이 수 µm 안에 들어와야 하며, 이것이 렌즈 조립(틸트·디센터) 공차와 센서 실장 평탄도(Tilt) 공차의 근거다.

SIMULATOR

상면만곡·비점수차와 평탄/곡면 센서의 필드별 블러

페츠발 새그 (코너) 비점 S−P (코너) 센서 위치 이동 F/# 픽셀 피치 곡면 센서 (페츠발 면에 맞춤)

등가 페츠발 반경 (h = 4 mm)—

센터 블러—

코너 블러 (T/S 최악)—

초점 허용 ±2λN²—

해볼 것: ① 기본값은 페츠발이 상당히 보정된 모바일 렌즈 수준(코너 −8 µm)이다. 참고로 같은 f′ = 5 mm를 양렌즈 하나(n = 1.54)로 만들면 반높이 4 mm에서 페츠발 새그가 약 −1,040 µm — 수차 보정이 얼마나 극적인지 감이 온다. ② "센서 위치 최적화"는 필드 전체에서 최악 블러를 최소화한다. 센터를 희생하고 코너를 살리는 절충을 확인하자. ③ 비점 S−P를 0으로 만들어도 페츠발이 남으면 평탄 센서에서는 코너가 흐리다. ④ 곡면 센서를 켜면 페츠발 성분이 사라지고 비점수차만 남는다. 오른쪽(좁은 화면에서는 아래) 그래프의 초록 띠는 블러 지름 ≤ 2 픽셀 영역. 단위 µm, 최대 상 높이 4 mm(1/2″급).

심화: 곡면 센서

페츠발 면에 맞춰 센서 자체를 휘면 렌즈는 페츠발 보정에 쓰던 자유도를 다른 수차에 쓸 수 있어, 같은 성능을 더 적은 렌즈·더 짧은 TTL·더 밝은 F/#로 얻는다. 사람 눈의 망막이 곡면인 것과 같은 원리다. 얇게 갈아낸 BSI 웨이퍼를 오목한 틀에 붙여 휘는 방식이 연구·시제품으로 발표되었고, 코너 CRA가 줄어드는 부수 효과(마이크로렌즈 시프트 부담 감소)도 있다. 다만 곡률에 따른 실리콘 응력이 암전류와 화이트 픽셀을 늘리고, 모듈 조립·AF 구조가 바뀌며, 센서 크기별로 곡률을 달리해야 하는 등 양산 장벽이 커서 모바일에서는 아직 평탄 센서가 표준이다.

왜곡과 ISP 보정

왜곡(Distortion)은 상이 흐려지지 않으면서 위치만 틀리는 수차다. 배율이 상 높이에 따라 달라지기 때문이며, 3차 이론에서는 $W_{311}H^3\rho\cos\theta$ → 광선 수차 $\propto H^3$이다. 실측 상 높이 $h_r$과 근축(이상) 상 높이 $h_p$에 대해

$$D(h) = \frac{h_r - h_p}{h_p}\times100\%,\qquad h_r = h_p\left(1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + \cdots\right)$$

$D < 0$: 술통형(Barrel), $D > 0$: 실패형(Pincushion). $r$: 정규화 반경(반대각선 = 1). 오른쪽은 카메라 보정(OpenCV 등)에서 쓰는 방사 왜곡 다항식. 화면 위에서 보이는 정도는 흔히 SMIA TV 왜곡(위 변의 가운데 높이 대비 모서리 높이 차이)으로 보고하며, 같은 렌즈의 코너 광학 왜곡보다 작게(대략 절반 안팎) 나온다.

모바일 메인 카메라는 광학 왜곡 1~2% 이내로 설계되지만, 초광각(화각 120°)은 −15~−25%의 큰 술통 왜곡을 일부러 남긴다. 등거리 사영($h = f\theta$) 계열로 설계해야 코너 광량·해상도를 유지하면서 화각을 넓힐 수 있고, 왜곡은 ISP가 기하 변환으로 펴기 때문이다. 그런데 이 보정은 공짜가 아니다.

SIMULATOR

왜곡 격자와 ISP 보정: 잃는 화각과 코너 해상도

프리셋

k₁ k₂

보기

광학 왜곡 (코너)—

TV 왜곡 (SMIA)—

보정 후 유효 화각—

코너 국소 배율 (방사/접선)—

해볼 것: ① "초광각"(k₁ = −0.2, 코너 광학 왜곡 약 −20%)의 원본 격자는 크게 부풀어 있다. "ISP 보정 후"로 바꾸면 직선은 펴지지만, 출력 화면을 채우기 위해 센서 바깥 대신 안쪽만 쓰게 되어 화각이 줄고(점선), 코너는 원래 픽셀보다 크게 늘여져 해상도가 떨어진다(국소 배율 < 1 = 업샘플). ② "갈매기형"은 k₁, k₂ 부호가 반대인 콧수염(Mustache) 왜곡 — 비구면이 강한 모바일 렌즈에서 흔하다. ③ 실패형(k₁ > 0, 망원)은 보정 시 코너가 압축되어 화각은 거의 잃지 않지만 센서 바깥 정보가 필요해 가장자리가 비게 된다. 격자 칸 색은 국소 배율(면적 비).

실무 노트: 왜곡 보정과 센서 사양

① 왜곡 보정은 출력 해상도 대비 여유 픽셀을 요구한다. 초광각 모듈이 "12 MP 출력"이어도 센서는 그보다 큰 영역을 읽고, 보정 후 코너의 실효 해상도는 센터의 60~70%까지 떨어질 수 있다. ② 렌즈의 실제 왜곡 곡선(Real Height vs Paraxial Height 표)은 렌즈 업체 데이터에서 받아 ISP 튜닝(LDC, Lens Distortion Correction)에 쓴다. 모듈 간 편차가 작아 대개 렌즈 설계값 하나로 보정한다. ③ 왜곡 보정은 렌즈 셰이딩·CRA 맵과 좌표계가 같아야 한다. 셰이딩 보정은 원본(센서) 좌표, 왜곡 보정은 그 뒤에 해야 픽셀별 이득이 어긋나지 않는다(12장). ④ 동영상 전자식 손떨림 보정(EIS)과 결합되면 프레임마다 다른 영역을 펴야 하므로 왜곡 표가 정확할수록 젤로 현상이 적다.

색수차와 아베수

렌즈 재료의 굴절률은 파장이 짧을수록 크다(정상 분산). 따라서 같은 렌즈의 초점거리는 청색에서 짧고 적색에서 길다. 재료의 분산 정도는 아베수(Abbe Number)로 나타낸다.

$$V_d = \frac{n_d - 1}{n_F - n_C},\qquad \frac{\delta f'}{f'} = -\frac{\delta\phi}{\phi} = -\frac{n_F - n_C}{n_d - 1} = -\frac{1}{V_d}$$

$n_d, n_F, n_C$: 헬륨 d선(587.6 nm), 수소 F선(486.1 nm), C선(656.3 nm)에서의 굴절률. $V$가 클수록 저분산. 얇은 단렌즈의 F–C 초점 차이(축상 색수차)는 $f'/V$: f′ = 5 mm, V = 56이면 89 µm — 초점 허용 범위 ±3.6 µm의 25배다.

그림 4-6. (a) 축상 색수차(Axial / Longitudinal Color): 청색이 렌즈에 가깝게 초점을 맺는다. 센서 위에서는 하이라이트 주변의 보라/녹색 테두리로 보이며 화면 전체에 나타난다. (b) 배율 색수차(Lateral Color, LACA): 주광선이 파장별로 다른 높이에 도달해 상의 크기가 색마다 다르다. 센터에서는 0이고 코너로 갈수록 커지며, 경계에 R/B 색 테두리를 만든다.

색지움 이중렌즈

아베수가 다른 두 재료로 양렌즈(저분산, 크라운)와 음렌즈(고분산, 플린트)를 붙이면 F선과 C선의 초점을 일치시킬 수 있다. 밀착 얇은 렌즈 두 장에 대해

$$\phi_1 + \phi_2 = \phi,\qquad \frac{\phi_1}{V_1} + \frac{\phi_2}{V_2} = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \phi_1 = \frac{V_1}{V_1 - V_2}\,\phi,\quad \phi_2 = -\frac{V_2}{V_1 - V_2}\,\phi$$

$V_1 - V_2$가 작으면 두 렌즈의 굴절력이 모두 커져(곡률이 급해져) 단색 수차가 커진다. BK7(64.2) + F2(36.4)이면 $\phi_1 = 2.31\phi$, $\phi_2 = -1.31\phi$. F·C를 맞춰도 g선(435.8 nm)과 d선 초점은 남는데, 이것이 2차 스펙트럼(Secondary Spectrum)으로 크기는 $f'\,\frac{P_1 - P_2}{V_1 - V_2}$($P$: 부분 분산비)이다.

재료	종류	$n_d$	$V_d$	부분 분산 $P_{g,F}$	쓰임
N-BK7	크라운 유리	1.517	64.2	0.535	표준 광학 유리, 커버 글래스
F2	플린트 유리	1.620	36.4	0.584	색지움 이중렌즈의 음렌즈
SF11	고굴절 플린트	1.785	25.7	0.621	고굴절 음렌즈
COC/COP (APEL·ZEONEX 계열)	사출 플라스틱	1.53~1.55	55~57	≈ 0.55	모바일 렌즈의 양렌즈
폴리에스터 (OKP 계열)	사출 플라스틱	1.63~1.67	19~24	≈ 0.60~0.65	모바일 렌즈의 음렌즈
PC (폴리카보네이트)	사출 플라스틱	1.585	≈ 30	≈ 0.60	저가 렌즈의 음렌즈
PMMA	사출 플라스틱	1.492	≈ 57	≈ 0.54	조명·저가 광학

표 4-3. 대표 광학 재료(유리는 Schott 카탈로그 값, 플라스틱은 대표 범위). 모바일 렌즈용 플라스틱은 "저분산 양렌즈 + 고분산 음렌즈" 두 계열을 번갈아 쓴다. 플라스틱은 유리보다 선택지가 훨씬 적어 색 보정 자유도가 제한된다.

SIMULATOR

단렌즈 vs 색지움 이중렌즈: 파장별 초점 이동

재료 조합

초점거리 f′ 굴절력 배분 오차 F/# (허용 범위)

φ₁/φ, φ₂/φ—

단렌즈 F–C 초점차—

이중렌즈 F–C 초점차—

2차 스펙트럼 (450–650 nm)—

초점 허용 ±2λN²—

해볼 것: ① 단렌즈(점선)의 초점 이동은 f′/V로 수십 µm다. 이중렌즈(실선)는 F(486)·C(656) nm에서 교차하고, 가운데가 처진 포물선 모양의 2차 스펙트럼만 남는다. ② 배분 오차를 ±5%만 줘도 곡선이 기울어 다시 수 µm의 1차 색수차가 생긴다 — 제조 시 굴절률 편차(플라스틱 ±0.001 수준, 사출 조건·온도에 따라 변함)가 색 보정에 미치는 영향이다. ③ BK7+SF11은 V 차이가 커서 굴절력은 작아지지만 P 차이가 커서 2차 스펙트럼이 더 크다. ④ f′를 키우면 모든 색수차가 비례해 커진다 — 망원 카메라가 저분산(ED) 소재를 쓰는 이유. 회색 띠는 초점 허용 범위. 분산은 $n_d, V_d, P_{g,F}$로 맞춘 3항 코시 모델.

배율 색수차와 픽셀 피치

배율 색수차는 상 높이 차이로 바로 보이므로 픽셀 단위로 생각하기 쉽다. 렌즈 데이터시트의 "Lateral Color" 곡선은 보통 기준 파장(555 nm)에 대한 F(486)·C(656) 주광선 높이 차이를 필드별로 준다. 모바일 메인 렌즈의 코너 값은 ±1~2 µm가 일반적이다.

코너 배율 색수차 (B–R)	픽셀 1.4 µm	픽셀 1.0 µm	픽셀 0.7 µm	픽셀 0.56 µm
1.0 µm	0.7 px	1.0 px	1.4 px	1.8 px
2.0 µm	1.4 px	2.0 px	2.9 px	3.6 px
3.0 µm	2.1 px	3.0 px	4.3 px	5.4 px

표 4-4. 같은 광학 색수차도 픽셀이 작아지면 픽셀 단위로 커진다. Bayer 패턴의 R·B 샘플 간격은 피치의 2배, Quad Bayer는 4배이므로 디모자이크 결과의 색 테두리는 더 두드러진다.

센서와 ISP는 무엇을 할 수 있나

배율 색수차는 각 색 채널의 상 크기 차이이므로, ISP는 R·B 평면을 G에 맞게 방사 방향으로 미세 리스케일(보통 다항식)해서 대부분 제거한다. 그러나 축상 색수차는 초점 문제라서 리샘플링으로 되돌릴 수 없다 — 흐려진 채널을 선명한 채널로 보강하는 "크로스 채널 샤프닝" 정도가 가능하다. 또한 색 필터 투과 대역(14장) 안에서도 파장별 초점이 다르므로 한 채널의 PSF 자체가 넓어진다. 결국 축상 색수차는 렌즈에서 잡아야 하는 항목이다.

파면 오차, Zernike 다항식과 Strehl 비

자이델 계수는 설계 해석에는 좋지만 측정·공차·제작에는 원형 동공 위에서 직교하는 기저가 편하다. 단위 원 위에서 직교하는 Zernike 다항식(Zernike Polynomials) $Z_j(\rho,\theta)$로 파면을 전개하면

$$W(\rho,\theta) = \sum_j c_j Z_j(\rho,\theta),\qquad \sigma_W^2 = \langle W^2\rangle - \langle W\rangle^2 = \sum_{j\ge2} c_j^2$$

Noll 정규화($\langle Z_j^2\rangle = 1$)를 쓰면 각 계수 $c_j$가 곧 그 항의 RMS 기여이고, 전체 RMS는 피스톤($j=1$)을 뺀 계수의 제곱합 제곱근이다. 예: $Z_4 = \sqrt3(2\rho^2-1)$(디포커스), $Z_6 = \sqrt6\rho^2\cos2\theta$(비점), $Z_8 = \sqrt8(3\rho^3-2\rho)\cos\theta$(코마), $Z_{11} = \sqrt5(6\rho^4-6\rho^2+1)$(구면). 간섭계(5장)는 파면을 직접 측정해 이 계수를 내놓는다.

Zernike 항에는 자이델 항과 달리 "최적 균형"이 이미 들어 있다. 예컨대 $Z_{11}$은 $\rho^4$에 $-\rho^2$ 디포커스를 섞어 RMS를 최소화한 형태이고, $Z_8$은 $\rho^3\cos\theta$에 기울기 $-\rho\cos\theta$를 섞은 형태다. 자이델 $W_{040} = 1\lambda$는 PV가 1λ이지만, 최적 초점에서의 RMS는 $1/(6\sqrt5) = 0.075\lambda$에 불과하다.

그림 4-7. 파면 수차 $W$는 출사동에서 실제 파면이 상점을 중심으로 하는 기준 구면으로부터 벗어난 광경로 차(OPD)다. 파면이 앞서는 곳에서 광선(파면의 법선)이 더 기울어 이상 상점 앞에서 축을 지나간다 — 기울기 $\partial W/\partial\rho$가 광선 수차다.

마레샬 기준과 Strehl 비

회절 PSF의 최대 세기를 무수차 PSF의 최대 세기로 나눈 것이 Strehl 비(Strehl Ratio)다. 파면 수차가 작으면 PSF 정점은 $|\langle e^{i2\pi W}\rangle|^2$로 주어지고, 이를 전개하면

$$S = \left|\left\langle e^{\,i2\pi W/\lambda}\right\rangle\right|^2 \approx e^{-(2\pi\sigma_W/\lambda)^2} \approx 1 - \left(\frac{2\pi\sigma_W}{\lambda}\right)^2$$

$\langle\cdot\rangle$: 동공 평균, $\sigma_W$: RMS 파면 오차. 마레샬 기준(Maréchal Criterion)은 $S \ge 0.8$, 즉 $\sigma_W \le \lambda/14 \approx 0.071\lambda$이며 이를 만족하면 "회절 한계" 렌즈라 부른다. 레일리의 λ/4 PV 기준과 대략 같다(순수 디포커스에서 $\lambda/4$ PV = 0.072λ RMS).

아래 시뮬레이터는 Zernike 계수로 동공 함수 $P = A\,e^{i2\pi W}$를 만들고 128×128 FFT로 PSF를 직접 계산한다(7장의 방법). 정확한 Strehl과 마레샬 근사를 비교해 보자.

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Zernike 파면 → FFT PSF와 Strehl 비

Z₄ 디포커스 Z₆ 비점 0° Z₈ 코마 X Z₁₀ 트레포일 Z₁₁ 구면 F/# (픽셀 격자 표시용)

PSF 표시

RMS σ_W—

PV—

Strehl (FFT 정확)—

Strehl (마레샬 근사)—

판정—

해볼 것: ① 기본값(코마 0.07λ RMS)은 마레샬 경계다. PSF 링이 한쪽으로 쏠리기 시작하고 Strehl ≈ 0.82. ② 어느 항이든 RMS가 같으면 Strehl은 거의 같다(작은 수차 영역) — "RMS가 전부"라는 경험칙. 그러나 0.15λ를 넘으면 마레샬 근사가 실제보다 낮게 나오기 시작한다. ③ Z₄ 디포커스로 Z₁₁ 구면을 상쇄할 수 없다(직교!) — 이미 최적 균형이기 때문. ④ F/1.8, 550 nm에서 에어리 반경은 1.21 µm. 흰 격자는 0.7 µm 픽셀이다. 코마 0.2λ만 되어도 꼬리가 옆 픽셀을 덮는다. 계수 단위: λ RMS(Noll).

모바일 렌즈의 "회절 한계"는 어디까지인가

F/1.8 모바일 메인 렌즈의 설계 RMS 파면 오차는 센터에서 0.03~0.06λ로 사실상 회절 한계지만, 코너(0.8~1.0 필드)에서는 0.1~0.2λ로 커진다. 여기에 사출 성형 편차·조립 디센터가 더해지면 양산 모듈의 코너 Strehl은 0.3~0.6 수준이다. 0.6~0.8 µm 픽셀의 나이퀴스트 주파수(625~830 lp/mm)에서 MTF가 왜 코너에서 급락하는지는 8장에서 이 숫자로 계산한다.

모바일 렌즈: 고비구면 플라스틱 렌즈와 CRA

스마트폰 메인 카메라 렌즈는 5~8장(5P~8P)의 사출 성형 플라스틱 렌즈로 이루어지며, 거의 모든 면이 비구면(Asphere)이다. 렌즈 업계 표준 표현은 짝수차 비구면이다.

$$z(r) = \frac{c\,r^2}{1+\sqrt{1-(1+k)c^2r^2}} + A_4r^4 + A_6r^6 + A_8r^8 + \cdots + A_{16}r^{16}\;(\text{~}A_{30})$$

$c = 1/R$: 꼭짓점 곡률, $k$: 원뿔 상수, $A_{2i}$: 비구면 계수. 모바일 렌즈는 $A_{16}$~$A_{20}$, 큰 센서용은 $A_{30}$까지 쓴다. 고차항이 많을수록 면이 "물결"치며, 렌즈 가장자리에서 기울기 부호가 바뀌는 변곡점(Inflection Point)이 생긴다.

왜 이렇게 강한 비구면이 필요한가? 답은 길이다. 1/1.3″ 센서(대각 12.3 mm)용 메인 렌즈는 TTL(첫 면~센서)이 7~8 mm로, 상 높이(반대각 6.2 mm)의 1.2~1.3배에 불과하다. 보통 카메라 렌즈는 TTL이 상 높이의 5~10배다. 이 짧은 공간에서 F/1.6~1.9, 화각 80~85°를 내려면 각 렌즈가 빛을 매우 세게 꺾어야 하고, 구면만으로는 수차를 잡을 수 없다. 비구면 한 면은 구면 여러 장의 역할을 하며, 특히 필드마다 다른 높이를 지나는 광선 다발을 각각 다르게 꺾을 수 있어 비점·왜곡·CRA를 "필드별로" 조절한다.

그림 4-8. 전형적인 모바일 6P 렌즈 단면(개념도). 조리개가 맨 앞에 있고, 양(+)렌즈(저분산 COC)와 음(−)렌즈(고분산 폴리에스터)가 교대로 놓인다. 마지막 렌즈는 중심은 오목하고 가장자리는 볼록한 갈매기형(Gull-wing) 비구면으로, 페츠발 보정·왜곡 보정과 동시에 주광선 각도를 조절한다. 출사동이 센서에서 가깝기 때문에 코너 주광선은 30~38°로 센서에 들어온다.

왜 모바일 렌즈는 CRA가 큰가

3장에서 $\tan\theta_{\text{CRA}} \approx h'/z_{\text{XP}}$(출사동–상면 거리)임을 보았다. 텔레센트릭(CRA ≈ 0)하려면 출사동이 무한원에 있어야 하고, 마지막 렌즈가 상 크기만큼 커야 한다. 모바일에서는 TTL이 상 높이와 비슷하므로 출사동은 센서에서 고작 4~6 mm 떨어져 있고, 상 높이 4~6 mm에서 CRA는 자연스럽게 35~45°가 된다. 렌즈 설계자는 마지막 비구면의 가장자리를 볼록하게 만들어 코너 주광선을 조금 세워 주는데(그래서 변곡점이 생긴다), 그 결과 CRA 곡선은 필드에 대해 단조 증가하지 않고 70~85% 필드에서 최대(32~38°)를 찍은 뒤 코너에서 다시 줄어드는 모양이 흔하다. 이 비선형 CRA 곡선에 맞춰 마이크로렌즈·컬러 필터 시프트를 설계하는 것은 12장과 13장의 주제다.

SIMULATOR

짝수차 비구면: 새그, 면 기울기와 변곡점

프리셋

꼭짓점 곡률 c 원뿔 상수 k A₄ A₆ A₈ 유효 반경 r_max

최대 새그—

최대 면 기울기—

구면 대비 최대 편차—

변곡점 (기울기 부호 변화)—

국소 곡률 (중심 / 0.8 r_max)—

해볼 것: ① "L6 갈매기형"에서 면이 중심에서는 오목(국소 곡률 음수), 가장자리에서는 볼록(양수)으로 바뀌는 것을 보고, 기울기 곡선이 0을 지나는 변곡점 위치를 읽자. 이 면이 렌즈의 뒷면이라면 곡률 부호가 바뀌는 가장자리 영역에서 국소 굴절력의 부호도 바뀌어, 코너 주광선을 세워 CRA를 줄인다. ② 면 기울기가 ~35°를 넘으면 금형 가공·코팅 균일도·측정(접촉식 프로파일러)이 어려워진다 — 렌즈 설계의 제약 조건. ③ "구면" 대비 편차는 수십 µm에서 수 mm에 이르러, 비구면이 "살짝 수정한 구면"이 아님을 보여 준다. 길이 단위 mm, 계수 단위 mm^(1−2i). 오른쪽 축의 기울기는 면 법선이 광축과 이루는 각.

항목	메인 (1/1.3″)	초광각	망원 (페리스코프)
구성	7P 또는 1G6P	5P~6P	4P~5P + 프리즘
EFL / F/#	6.5~7 mm / F/1.6~1.9	1.6~2.2 mm / F/2.0~2.2	12~18 mm / F/2.8~3.5
화각 (대각)	80~85°	110~123°	20~30°
TTL / 상 높이	≈ 1.2~1.3	≈ 1.5~2	(접힘 광학)
최대 CRA	32~38° (비단조)	30~36°	10~20°
광학 왜곡	< ±2%	−15~−25% (ISP 보정)	< ±1%
코너 배율 색수차	±1~2 µm	±2~4 µm	±1 µm
픽셀 피치	0.8~1.2 µm (Quad/Tetra²)	0.6~1.0 µm	0.6~1.0 µm

표 4-5. 스마트폰 카메라 렌즈의 대표 사양 범위(2023~2026년 플래그십 기준 공개 자료로 정리한 근사값).

실무 노트: 렌즈 데이터를 센서 설계로 옮길 때

센서 개발자가 렌즈 업체에서 받아야 할 표는 다섯 개다. ① CRA vs 상 높이(R·G·B 파장별, 비단조 여부) → 마이크로렌즈·CF·그리드 시프트 맵. ② 상대 조도와 왜곡 → 셰이딩·LDC 튜닝. ③ 필드별 T/S 상면(through-focus MTF) → 센서 평탄도(Warpage) 공차, 다이 본딩 틸트 공차 ±수 µm. ④ 배율 색수차 → ISP LCA 보정 범위, 픽셀 피치 대비 픽셀 수. ⑤ 필드별 상측 광선 각도 분포(주광선 ± 주변 광선, 즉 콘의 모양) → 픽셀 각도 응답 시뮬레이션(15장)의 입력. 특히 코마가 큰 코너에서는 광선 콘이 주광선에 대해 비대칭이어서, CRA 하나로만 마이크로렌즈 시프트를 정하면 R/B 채널 셰이딩이 남는다.

플라스틱 렌즈의 대가

플라스틱은 사출 성형으로 비구면을 싸게 대량 생산할 수 있다는 압도적 장점이 있지만, 굴절률의 온도 계수가 크다($dn/dT \approx -1\times10^{-4}$/K, 유리의 약 30~100배). 40 °C 온도 상승은 $\Delta n \approx -0.004$에 해당하고, 짧은 초점거리 렌즈에서도 초점이 수 µm 이동한다 — 앞서 본 초점 허용 범위와 같은 크기다. 모바일 모듈은 AF로 이를 흡수하지만, 고정 초점 차량용 카메라는 유리-플라스틱 하이브리드나 무열화(Athermal) 설계를 쓴다. 최근 메인 카메라가 1G6P처럼 유리 비구면 한 장을 섞는 것도 고굴절·저분산·열 안정성을 얻기 위해서다.

핵심 정리

수차는 $\sin\theta\approx\theta$ 근축 근사에서 벗어난 오차다. 3차 항까지가 자이델 수차이며, 단색 5종(구면·코마·비점·상면만곡·왜곡)과 색수차 2종(축상·배율)으로 나뉜다.
실광선 추적은 "원뿔곡면과의 교점 → 법선 → 벡터 스넬" 반복이다. 근축 추적과 비교하면 구면수차가 나오며, LSA ∝ h², TSA ∝ h³이다.
초점거리는 곡률 차이로만 정해지므로 렌즈 굽힘(형상 인자 X)으로 구면수차를 바꿀 수 있다. 평볼록 렌즈는 볼록면이 평행광을 향할 때 수차가 약 1/4이다. 비구면 한 면이면 축상 구면수차를 0으로 만들 수 있다.
파면 수차 $W(\rho,\theta,H)$의 기울기가 광선 수차다: $\varepsilon \approx -2N\,\partial W/\partial\rho$. 스팟 크기는 F/#에 비례하고, 디포커스를 더해 수차를 "균형"시킬 수 있다.
페츠발 합 $\sum 1/(n_if_i)$은 렌즈 모양과 무관하다. 평탄 센서에서 전 필드 초점 오차가 ±2λN²(F/1.8에서 ±3.6 µm) 안에 들어와야 하며, 모바일 렌즈의 마지막 음렌즈가 필드 플래트너 역할을 한다.
왜곡은 블러 없이 위치만 틀린다. ISP 보정은 직선을 펴지만 화각과 코너 해상도를 잃는다. 셰이딩 보정은 왜곡 보정 전, 센서 좌표에서 해야 한다.
아베수 $V = (n_d-1)/(n_F-n_C)$. 단렌즈의 축상 색수차는 f′/V(5 mm, V=56에서 89 µm). 색지움 조건 $\phi_1/V_1+\phi_2/V_2 = 0$, 남는 2차 스펙트럼은 부분 분산 차이에 비례한다. 배율 색수차는 ISP로 대부분 보정되지만 축상 색수차는 안 된다.
Zernike(Noll) 계수는 각 항의 RMS이며 전체 RMS는 제곱합. Strehl ≈ exp[−(2πσ/λ)²], 마레샬 기준 σ ≤ λ/14(S ≥ 0.8)가 회절 한계의 정의다.
모바일 렌즈는 TTL ≈ 1.2~1.3 × 상 높이의 5~8장 고비구면 플라스틱 렌즈다. 출사동이 센서에 가까워 CRA가 30~38°로 크고, 갈매기형 마지막 렌즈 때문에 CRA 곡선이 비단조가 된다.

확인 퀴즈

Q1. 어떤 단렌즈의 입사 빔 반높이를 4 mm에서 8 mm로 늘렸다. 3차 구면수차만 있다고 할 때 근축 상면에서의 횡 구면수차(TSA)는 몇 배가 되나?

파면 $W_{040}\rho^4$의 기울기는 $\rho^3$이므로 TSA ∝ h³ → 2³ = 8배. LSA는 TSA를 광선 기울기(∝ h)로 나눈 것이라 h²에 비례해 4배다.

Q2. 평볼록 렌즈로 평행광을 집광할 때 구면수차를 줄이는 올바른 방향은?

볼록면을 평행광 쪽으로 두면 두 면이 굴절을 나눠 맡아 각 면의 입사각이 작아진다. BK7, f′ = 50 mm, F/4에서 LSA가 −3.46 mm → −0.86 mm로 약 1/4이 된다. 초점거리는 곡률 차이로만 정해지므로 같지만 수차는 다르다.

Q3. 광선 수차 그래프(ε_y vs ρ_y)에서 원점 대칭이 아니라 좌우 대칭인 포물선(U자)이 보였다. 주된 수차는?

코마 $W_{131}H\rho^3\cos\theta$의 자오 방향 광선 수차는 $\varepsilon_y \propto 3\rho_y^2$으로 짝함수다. 구면수차는 $\rho^3$(홀함수, S자), 디포커스는 직선, 왜곡은 상수 오프셋이다.

Q4. F/2.0 렌즈에서 $W_{040} = 0.5\lambda$ (λ = 0.55 µm)일 때 근축 상면에서 주변 광선의 횡 수차는 대략?

$\varepsilon = -2N\lambda\,\partial W/\partial\rho = -2\cdot2\cdot0.55\cdot(4\cdot0.5) = -4.4$ µm. 1 µm 픽셀 4개 이상이다.

Q5. 페츠발 합에 대한 설명으로 옳은 것은?

$1/R_P = -\sum 1/(n_i f_i)$는 모양·스톱 위치와 무관하다. 시스템 굴절력은 광선 높이에 가중되므로 광선이 낮은 곳의 음렌즈는 초점거리를 크게 해치지 않고 페츠발 합을 상쇄한다.

Q6. f′ = 4 mm 플라스틱 단렌즈(V = 56)의 F–C 축상 색수차와, F/2.0·550 nm 초점 허용 범위(±2λN²)를 비교하면?

$f'/V = 4000/56 = 71$ µm, $2\lambda N^2 = 2\cdot0.55\cdot4 = 4.4$ µm. 그래서 모바일 렌즈는 저분산 양렌즈와 고분산 음렌즈를 조합해 색을 지운다.

Q7. 배율 색수차와 축상 색수차 중 ISP의 기하 보정(채널별 리스케일)으로 대부분 제거할 수 있는 것은?

배율 색수차는 색마다 상의 크기가 다른 것이라 R/B 평면을 G에 맞게 리스케일하면 된다. 축상 색수차는 채널별 초점(블러) 문제라 리샘플링으로 되돌릴 수 없다.

Q8. Noll 정규화 Zernike로 측정한 파면이 Z₇ = 0.04λ, Z₈ = 0.03λ, Z₁₁ = 0.05λ(그 외 0)이다. RMS 파면 오차와 마레샬 근사 Strehl은?

$\sigma = \sqrt{0.04^2+0.03^2+0.05^2} = \sqrt{0.005} = 0.0707\lambda$. $S \approx \exp[-(2\pi\cdot0.0707)^2] = \exp(-0.197) = 0.82$ — 마레샬 경계(λ/14)에 해당한다.

Q9. 스마트폰 메인 렌즈의 CRA가 30° 이상으로 크고, 필드에 대해 비단조인 주된 이유는?

$\tan\theta_{\text{CRA}} \approx h'/z_{\text{XP}}$에서 $z_{\text{XP}}$가 수 mm로 작으면 CRA가 커진다. 마지막 렌즈의 가장자리 볼록부가 코너 주광선을 세워, CRA는 70~85% 필드에서 최대를 찍고 코너에서 다시 줄어든다. 평행판(IR 필터)은 광선 각도를 바꾸지 않는다.

수차	파면 \(W\)	광선 수차 의존성	상의 모양	픽셀에서의 증상
구면수차	\(W_{040}\rho^4\)	\(\rho^3\), 필드 무관	밝은 코어 + 둥근 헤일로	전 화면 콘트라스트 저하, 초점 위치가 F/#에 따라 이동
코마	\(W_{131}H\rho^3\cos\theta\)	\(\rho^2 H\)	혜성 꼬리(60° 부채꼴)	방사 방향 비대칭 번짐, 크로스토크처럼 보임
비점수차	\(W_{222}H^2\rho^2\cos^2\theta\)	\(\rho H^2\)	T/S 방향 초점 분리, 선·타원	코너에서 방사/접선 방향 MTF 차이
상면만곡	\(W_{220}H^2\rho^2\)	\(\rho H^2\)	필드별 초점 위치가 곡면	센터-코너 동시 초점 불가
왜곡	\(W_{311}H^3\rho\cos\theta\)	\(H^3\), 동공 무관	선명하지만 위치가 틀림	술통/실패형 격자, ISP 보정 필요